Экзотическая сфера ⇐ Васина Википедия

[wiki_de]

'''Экзотическая сфера''' — это термин из математической области дифференциальной геометрии. Это дифференцируемое многообразие, которое является топологией (математика)|топологическим, но не дифференцируемо эквивалентным сфере (математика)|стандартной сфере. Это означает, что она гомеоморфна n-мерной сфере, но имеет дифференцируемую структуру, не диффеоморфную стандартной структуре. Экзотические сферы встречаются в измерениях n \geq 7 и являются центральной темой дифференциальной топологии. Джон Милнор сконструировал первые экземпляры в 1956 году. Теперь они называются сферами Милнора.

Экзотические сферы играют важную роль в топологии, поскольку они показывают, что одного топологического пространства многообразия недостаточно для четкого определения его дифференцируемой структуры.

== Историческая справка ==
Концепция экзотических сфер была впервые открыта Джоном Милнором в 1950-х годах. Милнор показал, что для n = 7 существует сфера, имеющая экзотическую дифференцируемую структуру. В своей основополагающей статье 1956 года он явно построил семь неэквивалентных дифференцируемых структур на 7-сфере, используя методы теории кобордизмов. За эту работу он получил медаль Филдса в 1962 году.
== Определение ==
Экзотическая сфера — это дифференцируемое многообразие, гомеоморфное стандартной сфере S^n, но не диффеоморфное S^n.
Это означает, что он имеет ту же топологическую структуру, что и S^n, но оснащен другой дифференцируемой структурой.

== Существование ==
Экзотические сферы существуют в измерениях n \geq 7, но было доказано, что экзотических сфер нет в измерениях n \leq 3 и в измерениях n= 5. и n=6. На сегодняшний день (декабрь 2024 г.) неясно, существуют ли экзотические сферы для измерения 4.

== Примеры ==
=== Сфера Милнора ===

=== Сферы Брискорна ===

=== Сфера Громолля-Мейера ===

Другим примером экзотической сферы является сфера Громоля-Мейера, открытая в 1973 году Детлефом Громолем и Вольфгангом Мейером (математиком) | Вольфгангом Мейером. Они построили это 7-мерное многообразие как факторгруппу|фактор группы Ли от Sp(2) до Sp(1) \times Sp(1) при свободном , изометрический эффект. Sp(n) обозначает группу унитарных матриц кватернионов 2×2 с определителем 1.
== Классификация ==
Множество классов H-кобордизмов|h-кобордизмов гомотопической сферы|гомотопических сфер размерности n обозначается \Theta_n. Это множество вместе со связной суммой представляет собой конечную абелеву группу. Класс h-кобордизмов со стандартной сферой — это нейтральный элемент|нейтральный элемент.
В размерностях n \geq 5 применимы утверждения теоремы о H-кобордизме|теоремы о h-кобордизме и гипотезы Пуанкаре, оба из которых были доказаны Стивеном Смейлом. Теорема о h-кобордизме утверждает, что два односвязных компактных дифференцируемых многообразия размерности больше 4, которые являются h-кобордантными, являются ориентационно точными диффеоморфными.

Отсюда следует, что для n \geq 5 группа \Theta_n представляет собой множество классов эквивалентности n-сфер относительно ориентационно-точных диффеоморфизмов. . Здесь компактное ориентированное дифференцируемое многообразие называется n-сферой, которая гомеоморфна S^n. Сферы n, которые относятся к тому же классу h-кобордизмов, что и стандартная сфера, могут быть описаны далее. Односвязное компактное ориентированное дифференцируемое многообразие X является h-кобордантным (т.е. в том же классе h-кобордизмов) S^n тогда и только тогда, когда X сжимаемое пространство | сжимаемое дифференцируемое ограниченное многообразие.

* Nlab:exotic+7-sphere|экзотическая 7-сфера на nLab (английский язык|английский)
* [http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Exotic_spheres Экзотические сферы] (Атлас многообразия)



Категория:Дифференциальная топология

Подробнее: https://de.wikipedia.org/wiki/Exotische_Sph%C3%A4re