Милнор Сфера ⇐ Васина Википедия

[wiki_de]

'''Сфера Милнора''' в математике|математической отрасли дифференциальной топологии представляет собой семимерное гладкое многообразие, которое является гомеоморфизмом|гомеоморфным, но не диффеоморфизмом|диффеоморфным семимерной сфере (математика)| сфера. Впервые они были построены Джоном Милнором в 1956 году и исторически были первыми примерами экзотических сфер.

== Семь измерений ==
Обычная сфера 7 S^7 представляет собой пучок волокон S^3 над S^4, известный как Хопф. волокно#Обобщения|Кватернионное волокно Хопфа.

Поскольку ориентированное кольцо бордизмов \Omega_7^\operatorname{SO} (элементами которого являются классы бордизмов семимерных гладких многообразий) тривиально (что можно показать с помощью пространства Тома|спектра Тома), Каждое семимерное гладкое многообразие является ребром восьмимерного многообразия, поскольку такое многообразие ориентировано на границе с 7 сфера S^7, которая является краем диска 8 D^8.

== Строительство ==
Расслоение S^3 обычно можно представить как сферическое расслоение четырехмерного вещественного векторного расслоения. Над сферой 4 S^4 (которая представляет собой склейку двух дисков 4 D^4) северный и южное полушарие, на их краю S^3, экваторе), каждое четырехмерное вещественное векторное расслоение представляет собой соединение двух тривиальных четырехмерных действительных векторов. Векторные расслоения по двум дискам 4 D^4 (нетривиальный вариант невозможен, поскольку D^4 является сжимаемым пространством|сжимаемым) соответствующий одному рисунку S^3\rightarrow\operatorname{GL}_4(\mathbb{R}) на его ребре S^3. Построенное таким образом векторное расслоение зависит только от гомотопического класса отображения. Есть даже биекция:

: \operatorname{Vect}_\mathbb{R}^4(S^4)
\cong\pi_3\operatorname{GL}_4(\mathbb{R}).

В англоязычной литературе эта конструкция (с векторными расслоениями общего ранга над сферами общей размерности, для которых \operatorname{Vect}_\mathbb{R}^n(S^k)\cong\pi_{k-1} \operatorname{ GL}_n(\mathbb{R})) известен как «сцепляющаяся конструкция».

Для каждой пары (h,k)\in \mathbb {Z}^2 целых чисел существует с точностью до изоморфизма четырехмерное вещественное векторное расслоение \xi_{h,k} \colon E_{ h,k}\rightarrow S^4 над S^4. Для класса Эйлера и первого класса Понтрягина этого векторного расслоения применимы:McEnroe 2015, уравнения (6.17) и (6.29)Syu 2017, предложение 1

: e(\xi_{h,k})
=(h+k)e(\gamma_\mathbb{H}^{1,1})
: p_1(\xi_{h,k})
=2(h-k)e(\gamma_\mathbb{H}^{1,1}),

где \gamma_\mathbb{H}^{1,1} — тавтологическое расслоение|тавтологическое линейное расслоение над кватернионной проективной прямой \mathbb{H}P^1\cong S^4 есть.

Расслоение сфер S(E_{h,k}), семимерное гладкое многообразие, теперь является краем расслоения дисков D(E_{h,k}), восьмимерное гладкое Разнообразие. Используя теорию Морса, можно показать, что S(E_{h,k}) для |h+k|=1 гомеоморфно 7 -Sphere S^7.Rachel McEnroe 2015, подраздел 4.3 Было бы S(E_{h,k}) также диффеоморфен 7-сфере S^7, продукту соволокна M_{h ,k}=D(E_{h,k})+_{S(E_{h,k})}D^8. Если при этом D^8 схлопывается в точку, результатом будет пространство Тома \operatorname{Th}(E_{h,k})=D(E_{h,k}) /S(E_{h,k})
=M_{h,k}/D^8. Из теоремы Тома следует, что H^4(M_{h,k},\mathbb{Z})
\cong\mathbb{Z} и H^8(M_{h,k},\mathbb{Z})
\cong\mathbb{Z}, поэтому форма разреза представляет собой матрицу 1\times 1, а подпись имеет только значения \sigma(M_{h ,k})= \pm 1 можно взять. Поскольку M_{h,k} восьмимерен, сигнатурная теорема Хирцебруха|Сигнатурная теорема Хирцебруха также может использоваться для вычисления сигнатуры. Это применимо

: \sigma(M_{h,k})
=\langle L_2(p_1(M_{h,k}),p_2(M_{h,k})),[M_{h,k}]\rangle

с полом L:

: L_2(p_1(M_{h,k}),p_2(M_{h,k}))
=\frac{1}{45}\left(
7p_2(M_{h,k})
-p_1^2(M_{h,k})
\право).

Незнания второго класса Понтрягина p_2(M_{h,k}) можно избежать (после умножения обеих частей на 45), перенеся значения в класс остатка \mathbb Z/7\mathbb Z можно пропустить, поскольку тогда соответствующее слагаемое исчезает. В результате:

: \pm 3
\equiv 4(h-k)^2\operatorname{mod}7
\Rightarrow(h-k)^2
\equiv 1\operatorname{mod}7.

Для пар (h,k)\in \mathbb{Z}^2 с |h+k|=1 и (h-k)^2
\not\equiv 1\operatorname{mod}7 возникает противоречие, разрешить которое можно только плавным склеиванием S(E_{h,k}) с < math>S^7 невозможен при построении M_{h,k}, поэтому они не диффеоморфны. S(E_{h,k}) — это экзотическая сфера.

== Литература ==

* * *

* nlab:exotic+7-sphere|экзотическая 7-сфера на nLab (английский язык|английский)



Категория:Дифференциальная топология

Подробнее: https://de.wikipedia.org/wiki/Milnor-Sph%C3%A4re