Кервэр -Милнор Группа ⇐ Васина Википедия

[wiki_en]

В математике, особенно дифференциальной топологии и теории кобортизма, «'' '' Kervaire-Milnor Group '' ''-это группа авелеев, определяемая как классы H-коркордизма гомотопий Ориентация | Ориентация как инверсия. Он контролирует существование гладких структур на топологическом многообразии | Топологические и кусочно -линейные коллекторы | кусочно -линейные (PL) коллекторы. Lück 2004, p. 119 относительно связанного вопроса о структурах PL на топологических коллекторах, обструкция дается инвариантом Кирби -Сьбенманн, что намного проще для понимания. Кроме того, во всех, кроме трех, и четырех измерений, группы Керерра -Милнора дают возможные гладкие структуры на сферах, следовательно, экзотическая сфера | экзотические сферы. Они названы в честь французского математика Мишеля Кервара и американского американского математика Джона Милнора, которые впервые описали их в 1962 году. (Их статья изначально должна была быть только первой частью, но вторая часть никогда не была опубликована.)

== определение ==
Важным свойством сферы | сфер является их нейтралитет в отношении подключенной суммы коллекторов. Kevaire & Milnor 1962, Lemma 4.5 Расширение этой моноидной структуры с помощью операции (математика) | Композиция и нейтральный элемент в групповой структуре требуют ограничения на многообразии, для которой подключенная сумма может привести к сфере, следовательно, в которой интуитивно не имеет отверстий. Это возможно с гомотопической сферой | гомотопические сферы, которые закрыты гладкие коллекторы с тем же гомотопическим типом, что и сфера, с ограничением классов H-коркордизма полезны для применения. Затем инверсия дается путем изменения их ориентации, , что приводит к групповой структуре.
Альтернативное определение в более высоких измерениях дано описанием топологических, PL и гладких структур. Let \ operatorname {top} _n быть топологической группой гомеоморфизма | гомеоморфизмы, \ operatorname {pl} _n топологическая группа гомеоморфизмов PL и \ OperatorName {diff> } _n быть топологической группой диффеоморфизма | Индуктивный предел дает топологические группы \ operatorName {top} , \ operatorname {pl} и \ operatornam Бесконечная ортогональная группа \ operatorname {o} (\ infty) ), для которого можно рассматривать классификационное пространство | Классифицирующие пространства. Для топологического многообразия Математика>. Аналогично для PL и плавного коллектора, есть классификационные карты x \ rightarrow \ operatorname {bpl} и x \ rightarrow \ operatorname {bdiff} соответственно. Канонические включения \ operatorname {bdiff} \ kickrightarrow \ operatorname {bpl} \ kickrightarrow \ operatorname {btop} < /math> Покажите, что каждый гладкий - PL, а каждый PL - топологическая структура.

Группы Kervaire -Milnor затем альтернативно дают группу гомотопии | Гомотопические группы групп коэффициента | Ковейца \ operatorName {pl}/\ operatorname {diff} и \ operatorname {top} /\ operatorName {diff} : Freed & Uhlenbeck 1991, p. 12–13 < /ref>

:
\ Theta_n
\ cong \ pi_n \ Left (\ OperatorName {pl} /\ operatorName {diff} \ right)
\ cong \ pi_n \ Left (\ OperatorName {top} /\ operatorName {diff} \ right)
< /math>

для
n \ geq 5
< /math>.

== Примеры ==
Некоторые низкоразмерные группы Kervaire-Milnor дают: Kevaire & Milnor 1962, p. 504 Freed & Uhlenbeck 1991, p. 12–13 < /ref>

:
\ Theta_1 \ cong 1
< /math>
:
\ Theta_2 \ cong 1
< /math>
:
\ Theta_3 \ cong 1
< /math>
:
\ Theta_4 \ cong 1
< /math>
:
\ Theta_5 \ cong 1
< /math>
:
\ Theta_6 \ cong 1
< /math>
:
\ Theta_7 \ cong \ mathbb {z} _ {28}
< /math>
:
\ Theta_8 \ cong \ mathbb {z} _2
< /math>
:
\ Theta_9 \ cong \ mathbb {z} _2^2
< /math>
:
\ Theta_ {10} \ cong \ mathbb {z} _6
< /math>
:
\ Theta_ {11} \ cong \ mathbb {z} _ {992}
< /math>
:
\ Theta_ {14} \ cong \ mathbb {z} _2
< /math>
:
\ Theta_ {16} \ cong \ mathbb {z} _2
< /math>

После разрыв милнорских сфер в 1956 году уже было известно, что группы Керерра -Милнора не должны быть тривиальными с более точным результатом
\ Theta_7 \ cong \ mathbb {z} _ {28}
только после завершения следующих лет. Эгберт Брискорн построил генераторную экзотическую сферу как особый случай коллектора Брискорна в 1966 году. Она обеспечивает более уникальные свойства и также называется сферой Громолла -Мейера.

До сих пор неизвестно (в 2025 году) существуют ли экзотические сферы в четырех измерениях с результатом
\ Theta_4 \ cong 1
не допустить никакого вывода об этом. Это связано с тем, что группы Керваэр -Милнор также описывают классы диффеоморфизма сферов для
n \ neq 3,4
. Часто набор классов диффеоморфизма гомотопических сферов обозначается
\ overline \ theta_n
< /math> с канонической забывчивой картой
\ overline \ theta_n \ rightarrow \ theta_n
< /math>, а затем быть биктивным для
n \ neq 3,4
. Lück 2004, Lemma 6.2

== Свойства ==

* Все группы Kervaire - Milnor конечные. Мишель Керер и Джон Милнор уже доказали это в своей оригинальной статье для
n \ neq 3
< /math> с оставшимся случаем
n = 3
< /math> решается доказательством гипотезы Пуанкаре Григори Перельманом.

== Литература ==

* * *


Дифференциальная топология

Подробнее: https://en.wikipedia.org/wiki/Kervaire% ... lnor_group