Параболические координаты ⇐ Васина Википедия

[wiki_de]

'''Параболические координаты''' образуют ортогональную систему координат, линии уровня которой имеют параболическую (математика)|параболическую форму, см. рисунок. Все параболы имеют одинаковую фокальную точку (геометрию) | фокальную точку в начале координат и поэтому называются конфокальными коническими сечениями # конфокальными параболами | конфокальными. Параболические координаты всегда допускают разделение переменных в уравнении Лапласа | Уравнении Лапласа и Гельмгольца.
Выдавливание (геометрия) | Выдавливание перпендикулярно плоскости xy (в направлении z) создает параболические цилиндрические координаты (
Для решения уравнений в параболических цилиндрических координатах были определены специальные «параболические цилиндрические функции».
== Плоские параболические координаты ==
В плоскости xy изображения выше с параболическими координатами применяется \mu,\nu\in\R,\,\mu\ge0


\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\mu\nu
\\
\frac12(\nu^2-\mu^2)\end{pmatrix}
,\квадрат
\begin{pmatrix}\mu\\ \nu\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\sqrt{\sqrt{x^2+y^2}-y}
\\
{\rm знак}(x)\left(\sqrt{y^2+x^2}+y\right)
\end{pmatrix}


где знак печатает знак своего аргумента. Кривые, на которых µ постоянна (которые являются линиями уровня µ в плоскости xy), образуют направление вверх (т.е. в положительном направлении y) открытые конфокальные параболы

:y=-\frac{\mu^2}2+\frac{x^2}{2\mu^2}

на изображении зеленый цвет, а линии уровня от ν представляют собой открытые конфокальные параболы:

:y=\frac{\nu^2}2-\frac{x^2}{2\nu^2}

на картинке красный.

=== Метрические коэффициенты, элементы пути и площади в плоскости ===

Ковариантные базисные векторы

:
\vec g_\mu=\frac{\part}{\part\mu}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}\nu\\-\mu\end{pmatrix}
,\квадрат
\vec g_\nu=\frac{\part}{\part\nu}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}\mu\\ \nu\end{pmatrix}


которые, как и должно быть, перпендикулярны друг другу, и чьи суммы являются «метрическими коэффициентами»:

:
h_\mu:=|\vec g_\mu|=\sqrt{\mu^2+\nu^2},\quad
h_\nu:=|\vec g_\nu|=\sqrt{\mu^2+\nu^2}=h_\mu:=h


Соответственно, параболическая ортонормированная система

:
\hat c_\mu=\frac1h\begin{pmatrix}\nu\\-\mu\end{pmatrix}
,\квадрат
\hat c_\nu=\frac1h\begin{pmatrix}\mu\\ \nu\end{pmatrix}


Результатом элемента линии и площади будет

:\begin{align}
{\rm d}\vec r=&\vec g_\mu{\rm d}\mu+\vec g_\nu{\rm d}\nu
\\
{\rm d}s^2:=&|{\rm d}\vec r|^2=h^2({\rm d}\mu^2+{\rm d}\nu^2)
\\
{\rm d}A:=&h^2{\rm d}\mu\,{\rm d}\nu
\end{align}

=== Операторы на уровне ===

Обычные дифференциальные операторы перечислены в таблице.
{|
+\hat c_\nu\frac{\part f}{\part\nu}\right)

=\frac1{h^2}\left(\frac{\part(h v_\mu)}{\part\mu}
+\frac{\part(h v_\nu)}{\part\nu}\right)
=\frac1{h^2}\left(\frac{\part(h v_\nu)}{\part\mu}
-\frac{\part(h v_\mu)}{\part\nu}\right)

+\frac{\part^2f}{\part\nu^2}\right)

=== Решение уравнений Лапласа и Гельмгольца на плоскости ===

Специальная форма оператора Лапласа позволяет решать уравнение Гельмгольца путем мультипликативного разделения переменных в соответствии с подходом разделения
:\phi(\mu,\nu)=M(\mu)\cdot N(\nu)

Приведенный выше оператор Лапласа создает уравнение Гельмгольца:

:\Delta\phi(\mu,\nu)
=\frac1{\mu^2+\nu^2}\left(\frac{\part^2 M}{\part\mu^2}N
+M\frac{\part^2 N}{\part\nu^2}\right)=\lambda\cdot M\cdot N


Умножение обеих частей на \tfrac{\mu^2+\nu^2}{M\cdot N дает преобразованное

:\frac{\frac{\part^2 M}{\part\mu^2M-\lambda\mu^2
=\lambda\nu^2-\frac{\frac{\part^2 N}{\part\nu^2N


Поскольку левая часть зависит только от µ, а правая только от ν, в обеих частях есть константы:

:\begin{align}
\frac{\frac{\part^2 M}{\part\mu^2M-\lambda\mu^2=\kappa^2\rightarrow
\frac{\part^2 M}{\part\mu^2}-(\lambda\mu^2+\kappa^2)M=0
\\
\lambda\nu^2-\frac{\frac{\part^2 N}{\part\nu^2N=\kappa^2\rightarrow
\frac{\part^2 N}{\part\nu^2}-(\lambda\nu^2-\kappa^2)N=0
\end{align}

Справа показаны «дифференциальные уравнения Вебера», которые выполняются «функциями параболического цилиндра».
В случае уравнения Лапласа λ=0, а функцию решения можно выразить с помощью синуса и косинуса, а также гиперболического синуса и гиперболического косинуса:

:\phi(\mu,\nu)
=[A\sinh(\kappa\mu)+B\cosh(\kappa\mu)][C\sin(\kappa\nu)+D\cos(\kappa\nu)]


Константы A, B, C, D и κ служат для адаптации к граничным условиям. Если константа разделения κ2 установлена ​​с отрицательным знаком, угловые функции в функции решения заменяются гиперболическими функциями и наоборот.

== Параболические цилиндрические координаты ==
Параболические цилиндрические координаты создаются из плоских параболических координат #плоские параболические координаты|предыдущий раздел путем выдавливания (геометрия)|выдавливания перпендикулярно плоскости xy в направлении z, так что многие свойства можно перенести отсюда сюда.

Параболические цилиндрические координаты (\mu,\nu,z) и декартова (x,y,z) связаны следующим образом:


\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}\mu\nu\\ \frac12(\nu^2-\mu^2)\\z\end{pmatrix}
,\квадрат
\begin{pmatrix}\mu\\ \nu\\z\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\sqrt{\sqrt{x^2+y^2}-y}
\\
{\rm знак}(x)\left(\sqrt{y^2+x^2}+y\right)
\\
г
\end{pmatrix}


Поверхности уровня, на которых µ постоянна, представляют собой конфокальные «параболические цилиндры», открытые в положительном направлении y.
:y=-\frac{\mu^2}2+\frac{x^2}{2\mu^2}

красный цвет на изображении, а поверхности уровня ν представляют собой конфокальные параболические цилиндры, открытые в отрицательном направлении y:

:y=\frac{\nu^2}2-\frac{x^2}{2\nu^2}

на картинке желтый. Поверхности уровня с z=const. параллельные плоскости, на картинке синие.

=== Метрические коэффициенты, элементы пути и площади в параболических цилиндрических координатах ===

Ковариантные базисные векторы

:
\vec g_\mu=\frac{\part}{\part\mu}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}\nu\\-\mu\\0\end{pmatrix}
,\квадрат
\vec g_\nu=\frac{\part}{\part\nu}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}\mu\\ \nu\\0\end{pmatrix}
,\квадрат
\vec g_z=\frac{\part}{\part z}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}


которые, как и должно быть, перпендикулярны друг другу, и суммы которых являются метрическими коэффициентами:

:
h_\mu:=|\vec g_\mu|=\sqrt{\mu^2+\nu^2},\quad
h_\nu:=|\vec g_\nu|=\sqrt{\mu^2+\nu^2}=h_\mu:=h,\quad
h_z:=|\vec g_z|=1


Соответственно, параболическая цилиндрическая ортонормированная система

:
\hat c_\mu=\frac1h\begin{pmatrix}\nu\\-\mu\\0\end{pmatrix}
,\квадрат
\hat c_\nu=\frac1h\begin{pmatrix}\mu\\ \nu\\0\end{pmatrix}
,\квадрат
\hat c_z=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}


Элементы линии, площади и объема

:\begin{align}
{\rm d}\vec r=&h\hat c_\mu{\rm d}\mu+h\hat c_\nu{\rm d}\nu+\hat c_z{\rm d}z
\\
{\rm d}s^2:=&|{\rm d}\vec r|^2=h^2({\rm d}\mu^2+{\rm d}\nu^2)+{ \rm d}z^2
\\
{\rm d}A:=&
h\hat c_\nu{\rm d}\mu\,{\rm d}z
+h\hat c_\mu{\rm d}\nu\,{\rm d}z
+h^2\hat c_z{\rm d}\nu\,{\rm d}\mu
\\
{\rm d}V:=&h^2{\rm d}\mu\,{\rm d}\nu\,{\rm d}z
\end{align}

=== Операторы в параболических цилиндрических координатах ===

Обычные дифференциальные операторы перечислены в таблице.
{|
+\hat c_\nu\frac{\part f}{\part\nu}+\hat c_z\frac{\part f}{\part z}\right)

=\frac1{h^2}\left(\frac{\part(h v_\mu)}{\part\mu}
+\frac{\part(h v_\nu)}{\part\nu}\right)+\frac{\part v_z}{\part z}

{\rm red}\,\vec v
=
\frac{\hat c_\mu}h
\left[\frac{\part v_z}{\part \nu}-\frac{\part(hv_\nu)}{\part z}\right]
+ \frac{\hat c_\nu}h
\left[\frac{\part(hv_\mu)}{\part z}-\frac{\part v_z}{\part \mu}\right]
+ \frac{\hat c_z}{h^2}
\left[\frac{\part(hv_\nu)}{\part \mu}-\frac{\part(hv_\mu)}{\part \nu}\right]

+\frac{\part^2f}{\part\nu^2}\right)+\frac{\part^2f}{\part z^2}

=== Решение уравнений Лапласа и Гельмгольца в параболических цилиндрических координатах ===

Мультипликативное разделение переменных аналогично #решению уравнений Лапласа и Гельмгольца на плоскости, только нужно добавить координату z
:\phi(\mu,\nu)=M(\mu)\cdot N(\nu)\cdot Z(z)

Приведенный выше оператор Лапласа создает уравнение Гельмгольца:

:\Delta\phi(\mu,\nu)
=\frac1{\mu^2+\nu^2}\left(\frac{\part^2 M}{\part\mu^2}Новая Зеландия
+M\frac{\part^2 N}{\part\nu^2}Z\right)+MN\frac{\part^2 Z}{\part z^2}
=\лямбда M N Z


Деление обеих частей на M N Z дает

:\frac1{\mu^2+\nu^2}\left(\frac{\frac{\part^2 M}{\part\mu^2M
+\frac{\frac{\part^2 N}{\part\nu^2N\right)
+\frac{\frac{\part^2 Z}{\part z^2Z
=\лямбда


В правой части стоит константа, и только последняя дробь слева зависит от z. Поэтому этот термин также должен быть постоянным:

:\frac{\frac{\part^2 Z}{\part z^2Z:=\eta
\rightarrow
Z(z)=E\exp(\sqrt{\eta}z)+F\exp(-\sqrt{\eta}z)


Подстановка этой константы выше приводит к тому же, что и на плоскости, только с λ-η вместо λ:

:\begin{align}
\frac{\part^2 M}{\part\mu^2}-[(\lambda-\eta)\mu^2+\kappa^2]M=0
\\
\frac{\part^2 N}{\part\nu^2}-[(\lambda-\eta)\nu^2-\kappa^2]N=0
\end{align}

и решение такое же, как и там.

В случае уравнения Лапласа λ=0, а функцию решения можно выразить с помощью синуса и косинуса, а также гиперболического синуса и гиперболического косинуса:

:\phi(\mu,\nu,z)
=[A\sinh(\kappa\mu)+B\cosh(\kappa\mu)][C\sin(\kappa\nu)+D\cos(\kappa\nu)]
[E\exp(\sqrt{\eta}z)+F\exp(-\sqrt{\eta}z)]


Константы A, B, C, D, E, F, η и κ служат для адаптации к граничным условиям. Если константе разделения κ2 присвоен отрицательный знак, угловые функции в функции решения заменяются на гиперболические функции и наоборот, и в зависимости от знака η множитель, зависящий от z представляет собой волновую или показательную функцию.< br />
== Литература ==











Категория:Система координат