Ортогональные координаты ⇐ Васина Википедия

[wiki_de]

В математике «ортогональные координаты» — это те, в которых геометрические точки, в которых ровно одна координата является постоянной (кривые, поверхности или гиперповерхности), пересекаются под прямым углом.

На изображении показана криволинейная, но ортогональная система координат, широко распространенная на Земле, поскольку круги долготы и широты повсюду пересекаются под прямым углом. Долгота постоянна на показанных кругах долготы, а широта на параллелях широты постоянна. Ортогональные координаты — это особый, но часто используемый случай криволинейных координат.

== Мотивация ==
Хотя векторные операции и физические законы обычно легче всего вывести в декартовых координатах, недекартовы ортогональные координаты также используются для решения задач, если они обладают свойствами, подходящими для их математического описания. Например, географические координаты, указанные в начале, хорошо подходят для навигации по земной поверхности.

Основное преимущество недекартовых координат состоит в том, что, как и в приведенном примере, их можно выбирать с учетом симметрии рассматриваемой задачи. Например, волна давления из-за взрыва вдали от земли (или других препятствий) зависит от трехмерного пространства в декартовых координатах, но давление движется преимущественно от центра, поэтому задача становится почти одномерной в сферических координатах. (поскольку волна давления преимущественно зависит только от времени и расстояния от центра). Другим примером является (медленно) текущая жидкость в прямой круглой трубке: в декартовых координатах пришлось бы решать двумерную краевую задачу, тогда как в цилиндрических координатах проблема становится по существу одномерной, см. закон Хагена-Пуазейля. бр />
Причина предпочтения ортогональных координат, а не общих криволинейных координат, заключается в простоте: возникают сложности, когда координаты не ортогональны. Например, проблемы с ортогональными координатами часто можно решить путем разделения переменных. Разделение переменных — математический прием, преобразующий сложную многомерную задачу в соответствующее количество одномерных задач, которые можно решить с помощью известных функций. Многие уравнения восходят к уравнению Лапласа или уравнению Гельмгольца. Уравнение Лапласа можно разделить на 13 ортогональных систем координат (14 перечислены в таблице ниже, исключая тороидальную), а уравнение Гельмгольца можно разделить на 11 ортогональных систем координат.

Метрический тензор имеет диагональную матрицу в ортогональных координатах, так что скалярное произведение принимает особенно простую форму.

== Генерация ортогональных координат ==
В двух измерениях, как на рисунке, ортогональные системы координат можно создать путем отображения координатной сетки в плоскости xy. Комплексное число z = x + iy может быть образовано из действительных координат x и y, где i представляет собой мнимую единицу. Любая голоморфная функция w = f( z ) с комплексной ненулевой производной функцией дает конформное отображение.

Конформные отображения используются в теории электростатического поля|электростатических потенциалов, механике жидкости|жидкости и технической механике|технической механике. Физическая система|Физические системы, инвариантные относительно конформных отображений, имеют большое значение в физике твердого тела, в теории струн и в конформной теории поля|конформной теории поля.

Ортогональные координаты в трех и более высоких измерениях могут быть созданы из ортогональной двумерной системы координат либо путем проецирования ее в новое измерение (цилиндрические координаты), либо путем вращения двумерной системы вокруг одной из ее осей симметрии. Более общие ортогональные координаты можно построить, начав с некоторых необходимых координатных поверхностей и рассмотрев интегральные кривые, образованные их нормальными векторами.

== Базисные векторы и метрические коэффициенты ==

В декартовых координатах стандартные базисные векторы пространственно постоянны, но в криволинейных координатах это обычно не так. В каждой точке пространства существует набор привязанных к ней базисных векторов, который можно представить в виде сопутствующего штатива, состоящего из перпендикулярных осей в ортогональных координатах, на рисунке черного цвета.

=== Ковариантный базис ===
«Ковариантный базис» — это касательные векторы к координатным линиям в точке. Дифференциальная геометрия|Дифференциальная геометрия, ковариантные базисные векторы вычисляются как производная функция положения по (одной) координате q^k:

:\vec{g}_k=\frac{\partial\vec{r}(q^k)}{\partial q^k}

Эти векторы имеют любую величину, но в ортогональных системах они попарно перпендикулярны друг другу. Ненормализованные векторы образуют «естественный базис», из которого посредством нормализации создается «нормализованный базис» (единичные векторы с циркумфлексом | шляпой), которые обозначаются буквой «c», чтобы отличить их от декартова базиса. векторы:
:\vec{g}_k
=\underbrace{\left|\vec{g}_k\right|}
_{\begin{array}{c}\mathsf{metric}\\[-1ex]\mathsf{фактор}\end{array
\underbrace{\frac{\vec{g}_k}{|\vec{g}_k|
_{\begin{array}{c}\mathsf{unit}\\[-1ex]\mathsf{vector}\end{array
=h_k\hat{c}_k


=== Контравариантный базис ===
Контравариантный базис обычно возникает из градиента (математика)|градиента координат, согласно \vec{g}^k=\operatorname{grad}q^k
:\vec g^k=\frac{\hat c_k}{h_k}=\frac{\vec g_k}{h_k^2}

Это следует из того факта, что ко- и контравариантные базисные векторы образуют взаимно взаимные базисные системы с \vec g_j\cdot\vec g^k=\delta_j^k и дельтой Кронекера δ. Вкратце это означает:
:\hat c_k=\frac{\vec g_k}{h_k}=h_k\vec g^k={\hat c}^k\;,\quad
\hat c_j\cdot{\hat c}_k=\delta_{jk}

=== Метрические коэффициенты и метрические коэффициенты ===
Коэффициенты метрики h_k=|\vec g_k|=\tfrac1{|\vec g^k| положительны по определению и связаны с коэффициентами метрики
:\begin{align}
g_{jk}&=\vec g_j\cdot\vec g_k=h_j\hat c_j\cdot h_k\hat c_k=h_jh_k\delta_{jk}
\\
g^{jk}&=\vec g^j\cdot\vec g^k=\frac{\hat c_j}{h_j}\cdot\frac{\hat c_k}{h_k}=\frac{\delta _{ jk} {h_jh_k}
\end{align}

При j≠k метрические коэффициенты исчезают, а при j=k получаем
:h_k=|\vec g_k|=\sqrt{g_{kk\;,\quad
\left|\vec g^k\right|=\sqrt{g^{kk=\frac1{|\vec g_k|}=\frac1{h_k}


=== Коэффициенты векторов ===
Таким образом, существует три различных базисных набора, которые обычно используются для описания векторов в ортогональных координатах: ковариантный базис \vec{g}_k, контравариантный базис \vec{g}^k< / math> и нормализованное основание \hat c_k, которые все коллинеарны, но могут иметь разную длину. Хотя вектор является объективной величиной, то есть его идентичность не зависит от системы координат, коэффициенты вектора зависят от того, в каком базисе вектор представлен. Во избежание путаницы позиция индекса отражает используемую базовую систему:

:\vec x = \sum_k x^k \vec g_k = \sum_k x_k \vec g^k

где верхние индексы не следует путать со степенью (математикой)|возведением в степень. Положение индексов указывает на то, как рассчитываются коэффициенты:
:x_k=\vec x\cdot\vec g^k=h_k^2 x^k\;,\quad
x^k=\vec x\cdot\vec g_k=\frac{x_k}{h_k^2}

Не существует четкого, широко используемого обозначения коэффициентов в терминах нормированного базиса.

== Векторная алгебра ==

Сложение и вычитание векторов выполняются покомпонентно, как и в декартовых координатах, без каких-либо сложностей. Другие векторные операции могут потребовать дополнительных соображений. Однако следует отметить, что все операции применимы только к векторам, связанным с точкой, точнее, только к векторам в касательном пространстве, определенном в этой точке. Поскольку базисные векторы обычно различаются по ортогональным координатам от места к месту, при сложении двух векторов, существующих в разных точках пространства, необходимо учитывать разные базисные векторы.

=== скалярное произведение ===

Скалярное произведение в евклидовом векторном пространстве с декартовыми координатами представляет собой просто сумму произведений коэффициентов. В ортогональных координатах скалярное произведение двух векторов \vec x и \vec y принимает знакомую форму, когда для представления векторов используется #normalized базис:

:\vec x\cdot\vec y=\sum_j x_j\hat c_j\cdot\sum_k y_k\hat c_k
=\sum _{j,k}x_j x_k\delta _{jk}=\sum_j x_j y_j

Что касается ковариантного или контравариантного базиса, #co- и контравариантные коэффициенты приводят к:

:\begin{align}
\vec x\cdot\vec y
&=\sum_j x_j\vec g^j\cdot\sum_k y^k\vec g_k=\sum_{j,k}x_j y^k\delta^j_k
\\&=\sum_k x_ky^k=\sum_k x^ky_k=\sum_k h_k^2 x^k y^k=\sum_k\frac{x_k y_k}{h_k^2}
\end{align}

=== Перекрестное произведение ===

Перекрестное произведение в трехмерных декартовых координатах:

:\vec x\times\vec y=
(x_2y_3-x_3y_2)\hat e_1+(x_3y_1-x_1y_3)\hat e_2+(x_1y_2-x_2y_1)\hat e_3

Приведенная выше формула остается действительной в ортогональных координатах, если они образуют правовую систему (математика)|правовую систему, а #normalized базис \hat c_{1,2,3} используется для представления векторов:< бр />
:\vec x\times\vec y=
(x_2y_3-x_3y_2)\hat c_1+(x_3y_1-x_1y_3)\hat c_2+(x_1y_2-x_2y_1)\hat c_3

К ним применяется то же, что и к декартовым координатам с символом перестановки ''ϵ'':

:\hat c_i\times\hat c_j=\sum _{k=1}^3\epsilon _{ijk}\hat c_k

Здесь #нормализованный базис может быть выражен через ко- и контравариантные базисные векторы:

:\hat c_k=\frac{\vec g_k}{h_k}
\quad\rightarrow\quad
\vec g_i\times\vec g_j=h_ih_j\hat c_i\times\hat c_j
=h_ih_j\sum _{k=1}^3\frac{\epsilon _{ijk{h_k}\vec g_k

или

:\hat c_k=h_k\vec g^k
\quad\rightarrow\quad
\vec g^i\times\vec g^j=\frac{\hat c_i\times\hat c_j}{h_ih_j}
=\frac1{h_ih_j}\sum _{k=1}^3\epsilon _{ijk}h_k\vec g^k

Например, это можно объединить с

:\vec x\times\vec y=\sum_{i=1}^3x^i\vec g_i\times\sum_{j=1}^3 y^j\vec g_j
=\sum_{i,j,k=1}^3 x^iy^j\frac{h_ih_j}{h_k}\epsilon_{ijk}\vec g_k

что, написано развернуто,

:\vec x\times\vec y=
\left(x^2y^3-x^3y^2\right)\frac{h_2h_3}{h_1}\vec g_1
+\left(x^3y^1-x^1y^3\right)\frac{h_1h_3}{h_2}\vec g_2
+\left(x^1y^2-x^2y^1\right)\frac{h_1h_2}{h_3}\vec g_3

результаты.

== Векторный анализ ==

=== Оператор Набла ===

Оператор Набла в криволинейных координатах:
:\nabla=\sum_k\vec g^k\frac{\partial}{\partial q^k}
=\sum_k\frac{\vec c_k}{h_k}\frac{\partial}{\partial q^k}

Например, его можно использовать для представления дифференциальных операторов из раздела #Differentialoperators в трёх измерениях.

=== Метрические коэффициенты, элементы пути, площади и объема ===

Метрические коэффициенты — это суммы естественных базисных векторов, которые рассчитываются из производных функций местоположения по координате:
:\vec r=\sum_j x^j\hat e_j\;\rightarrow\quad
\vec g_k:=\frac{\part\vec r}{\part q^k}
=\sum_j\frac{\part x^j}{\part q^k}\hat e_j

со стандартной базой ê1,2,…. Коэффициенты показателей получены из этого:
:h_k:=\sqrt{\vec g_k\cdot\vec g_k}
=\sqrt{\sum_j\left(\frac{\part x^j}{\part q^k}\right)^2}


Для вычисления интегралов вам необходимо:
=h_ih_j\hat c_k\mathrm dq^i\mathrm dq^j с циклическими значениями i,j,k
=h_1h_2h_3\mathrm dq^1\mathrm dq^2\mathrm dq^3

=== Дифференциальные операторы в трёх измерениях ===
Операции, перечисленные в таблице, часто происходят в приложениях.
скалярного поля
=
\frac{\hat c_1}{h_1}\frac{\part f}{\part q^1}
+\frac{\hat c_2}{h_2}\frac{\part f}{\part q^2}
+\frac{\hat c_3}{h_3}\frac{\part f}{\part q^3}

\vec f=\sum _{k=1}^3 f_k\hat c_k:
\frac{1}{h_1 h_2 h_3}\Bigg[\dots
\\&
\frac{\part}{\part q^1} ( f_1 h_2 h_3 )
+\frac{\part}{\part q^2} ( f_2 h_3 h_1 )
+\frac{\part}{\part q^3} ( f_3 h_1 h_2 )\Bigg]
\end{align}
\vec f=\sum _{k=1}^3 f_k\hat c_k:
\nabla \times \vec f
=&
\frac{\hat c_1}{h_2h_3}
\left[\frac{\part}{\part q^2}(h_3f_3)-\frac{\part}{\part q^3}(h_2f_2)\right]
\\&+
\frac{\hat c_2}{h_3h_1}
\left[\frac{\part}{\part q^3}(h_1f_1)-\frac{\part}{\part q^1}(h_3f_3)\right]
\\&
+ \frac{\hat c_3}{h_1 h_2}
\left[\frac{\part}{\part q^1}(h_2f_2)-\frac{\part}{\part q^2}(h_1f_1)\right]
\end{align}
скалярного поля:
\Дельта f=&
(\nabla\cdot\nabla)f=\frac{1}{h_1 h_2 h_3}\Bigg[\dots
\\&
\frac{\part}{\part q^1}\left(\frac{h_2h_3}{h_1}\frac{\part f}{\part q^1}\right)
+\frac{\part}{\part q^2}\left(\frac{h_3h_1}{h_2}\frac{\part f}{\part q^2}\right)
+\frac{\part}{\part q^3}\left(\frac{h_1h_2}{h_3}\frac{\part f}{\part q^3}\right)
\Бигг]
\end{align}

== Известные ортогональные системы координат ==

* Цилиндрические координаты: (\rho,\phi,z)
:\rho\geq 0\,,\quad 0\leq\phi

Подробнее: https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonale_Koordinaten