Уравнение Дирака – Кэлера ⇐ Васина Википедия

[wiki_de]

Уравнение Дирака–Келера (также «уравнение Иваненко–Ландау–Келера») представляет собой геометрическую формулировку уравнения Дирака на псевдоримановых многообразиях с использованием псевдоримановых многообразий Обобщенного Оператор Лапласа#Оператор Ходжа-Лапласа|Оператор Лапласа-де Рама. Уравнение было открыто Дмитрием Иваненко и Львом Давидовичем Ландау | Лью Ландау в 1928 году.
== Строительство ==
Пусть M — n-мерное гладкое многообразие. Внешняя производная|дифференциал \mathrm{d}\colon
\Omega^k(M)\rightarrow\Omega^{k+1}(M) увеличивает степень дифференциальной формы и присоединенного дифференциала \delta\colon
\Omega^k(M)\rightarrow\Omega^{k-1}(M) уменьшает степень дифференциальной формы. Обобщенный оператор Лапласа#Оператор Ходжа-Лапласа|Оператор Лапласа-де Рама:

: \Delta
=\mathrm{d}\delta
+\delta\mathrm{d}\двоеточие
\Omega^k(M)\rightarrow\Omega^k(M)

поэтому приобретает степень дифференциальной формы. С условиями сложности \mathrm{d}^2
=\delta^2
=0 приводит к отношениям (\mathrm{d}\pm\delta)^2
=\pm\Delta, при этом оператор Дирака|Операторы Дирака существуют аналогично конструкции уравнения Дирака, так что его квадрат представляет собой оператор Лапласа–де Рама. Однако их уже невозможно определить на векторных пространствах дифференциальных форм одной степени, поэтому переход к прямой сумме таков:

: \Омега(M)
=\bigoplus_{k=0}^n\Omega^k(M)

необходимый. Одним из таких операторов Дирака является «оператор Дирака–Келера»:

: \mathrm{d}-\delta\colon
\Омега(М)\rightarrow\Омега(М).

Для скаляра m\in \mathbb {R} и дифференциальной формы \omega\in\Omega^k(M) уравнение Дирака–Келера имеет вид предоставлено:
: (\mathrm{d}-\delta+m)\omega=0.

Он состоит из n+3 связанных дифференциальных уравнений для n+1 дифференциальных форм. Для \omega
=\sum_{k=0}^n\omega_k с \omega_k\in\Omega^k(M)они задаются следующим образом:

: \mathrm{d}\omega_{k-1}
-\delta\omega _{k+1}
+m\omega_k=0

для k=-1,0,\ldots,n,n+1. Для краевых случаев k=-1 и k=n+1 это приводит к \mathrm{d}\omega_n=0 и \delta\omega_0=0, что в любом случае должно применяться по соображениям степени, поскольку в M нет форм -1 и n+1 дает. Это означает, что на самом деле существует только n+1 связанных дифференциальных уравнений для n+1 дифференциальных форм. Для k=0 и k=n это приводит к следующему:

: -\delta\omega_1
+m\omega_0=0
: \mathrm{d}\omega_{n-1}
+m\omega_n=0.

Применяя \mathrm{d}-\delta-m к уравнению Дирака–Келера, оно становится уравнением Клейна–Гордона (\Delta^2+m^2)\omega =0 , при котором отдельные дифференциальные уравнения разделяются и, следовательно, каждая отдельная дифференциальная форма \omega_k с (\Delta^2+m^2)\omega_k=0 Уравнение Клейна–Гордона выполнено. Если бы вместо этого для уравнения Дирака–Келера использовался оператор \mathrm{d}+\delta, это было бы (\Delta^2-m^2)\omega=0< /math> выполнить.

* nlab:Келер-Дирак+оператор|Оператор Келера-Дирака на nLab (английский язык|английский)



Категория:Квантовая теория поля

Подробнее: https://de.wikipedia.org/wiki/Dirac%E2% ... -Gleichung