Уравнение Майкельсона – Сивашинского ⇐ Васина Википедия

[wiki_en]

При горении «уравнение Майкельсона-Сивашинского» описывает эволюцию фронта пламени предварительно перемешанной смеси, подверженного неустойчивости Дарье-Ландау, в приближении малого тепловыделения. Уравнение было выведено Григорием Сивашинским в 1977 году

где \nu — константа. Учитывая также неустойчивость пламени Рэлея-Тейлора, уравнение преобразуется к

u \rangle \right)=0, \quad

где \langle u \rangle(t) — это пространственно-усредненная величина f, которая является функцией, зависящей от времени, а \gamma — еще одна константа.

==N-полюсное решение==
Уравнения в отсутствие гравитации допускают явное решение, которое называется N-полюсным решением, поскольку уравнение допускает полюсное разложение, как показали Оливье Туаль, Уриэль Фриш и Мишель Энон в 1988 году.Туаль О., У. Фриш и М. Энон. «Применение полюсного разложения к уравнению, определяющему динамику морщинистых фронтов пламени». В Динамике криволинейных фронтов, стр. 489-498. Academic Press, 1988.Фриш, Уриэль и Рудольф Морф. «Перемежаемость в нелинейной динамике и особенности в сложные моменты времени». Физический обзор А 23, вып. 5 (1981): 2673.Жулен, Гай. «Нелинейная гидродинамическая неустойчивость расширяющегося пламени: внутренняя динамика». Физический обзор Е 50, вып. 3 (1994): 2030. Рассмотрим уравнение 1d

:u_t + u u_x - \nu u_{xx} = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{ikx} \hat u(k,t) dk,

где \hat u — преобразование Фурье u. Это имеет решение вида
:\begin{align}u(x,t) &= -2\nu \sum_{n=1}^{2N} \frac{1}{x-z_n(t)}, \\
\frac{dz_n}{dt} &= -2\nu \sum_{l=1,l\neq n}^{2N} \frac{1}{z_n-z_l} - i \mathrm{sgn}(\mathrm {Я} з_н),
\end{align}

где z_n(t) (которые встречаются в комплексно-сопряженных парах) — это полюсы комплексной плоскости. В случае периодического решения с периодичностью 2\pi достаточно рассмотреть полюсы, действительные части которых лежат между интервалом 0 и 2\pi. В данном случае мы имеем

:\begin{align}
u(x,t) &= -\nu \sum_{n=1}^{2\pi} \cot\frac{x-z_n(t)}{2} , \\
\frac{dz_n}{dt} &= -\nu \sum_{l\neq n} \cot\frac{z_n-z_l}{2} - i \mathrm{sgn}(\mathrm{Im} z_n)
\end{align}

Эти полюса интересны тем, что в физическом пространстве они соответствуют местоположениям выступов, образующихся во фронте пламени.Вайнблат, Дмитрий и Моше Маталон. «Устойчивость полюсных решений для плоского распространяющегося пламени: I. Точные собственные значения и собственные функции». SIAM Journal по прикладной математике 60, вып. 2 (2000): 679-702.

==См. также==
*Уравнение Курамото–Сивашинского

Дифференциальные уравнения
*Гидродинамика
*Горение