Соотношение суперсеребряных монет ⇐ Васина Википедия

[wiki_en]

В математике «отношение суперсеребряного» — это геометрическое соотношение сторон | пропорция, близкая к
Название «соотношение суперсеребра» происходит по аналогии с соотношением серебра, положительным решением уравнения.
==Определение==
Две величины : \left( \frac{2a+b}{a} \right)^{2} = \frac{a}{b} .
Здесь обозначено соотношение \frac{a+b}{a}
Согласно этому определению,
: \begin{align}
1&=\left( \frac{2a+b}{a} \right)^{2} \frac{b}{a}\\
&=\left( \frac{2a+b}{a} \right)^{2} \left( \frac{2a+b}{a} - 2 \right)\\
&\подразумевает \varsigma^{2} \left( \varsigma - 2 \right) = 1 \end{align}

Отсюда следует, что соотношение суперсеребряных чисел находится как единственное действительное решение кубического уравнения \varsigma^{3} -2\varsigma^{2} -1 =0. Десятичное разложение нуля функция|корень начинается как 2.205\,569\,430\,400\,590...
Минимальный полином (теория поля)|минимальный полином для обратного корня — это вдавленная кубическая x^{3} +2x -1, таким образом, самое простое решение с кубическим уравнением#Формула Кардано|Формула Кардано,< бр /> : w_{1,2} = \left( 1 \pm \frac{1}{3} \sqrt{ \frac{59}{3 \right) /2
: 1 /\varsigma =\sqrt[3]{w_1} +\sqrt[3]{w_2}
или, используя кубическое уравнение#Тригонометрические и гиперболические решения|гиперболический синус,
: 1 /\varsigma =-2 \sqrt\frac{2}{3} \sinh \left( \frac{1}{3} \operatorname{arsinh} \left( -\frac{3}{4 } \sqrt\frac{3}{2} \right) \right).

Перепишите минимальный полином как (x^2+1)^2 =1+x, тогда итерация x \gets \sqrt{-1 +\sqrt{1+x приводит к вложенному радикалу#Бесконечно вложенные радикалы|продолженный радикал
: 1/\varsigma =\sqrt{-1 +\sqrt{1 +\sqrt{-1 +\sqrt{1 +\cdots \;
Разделив определяющий трехчлен x^{3} -2x^{2} -1 на : x_{1,2} = \left( -1 \pm i \sqrt{8\varsigma^2 +3} \right) /2 \varsigma^2

==Свойства==

Скорость роста среднего значения n-го члена случайной последовательности Фибоначчи равна
Для всех степеней \varsigma^{n} =2\varsigma^{n-1} +\varsigma^{n-3} =4\varsigma^{n-2} +\varsigma^{n-3} +2\varsigma^{n-4} =\varsigma^{n-1} +2\varsigma^{n-2} +\varsigma^{n-3} +\varsigma^{n-4}.

Непрерывная дробная структура нескольких малых степеней
: \varsigma^{-2} = [0;4,1,6,2,1,1,1,1,1,1,...] \approx 0,2056 ( : \varsigma^{-1} = [0;2,4,1,6,2,1,1,1,1,1,...] \approx 0,4534 ( :\ \varsigma^{0} = [1]
: \varsigma^{1} = [2;4,1,6,2,1,1,1,1,1,1,...] \approx 2,2056 ( : \varsigma^{2} = [4;1,6,2,1,1,1,1,1,1,2,...] \approx 4,8645 ( : \varsigma^{3} = [10;1,2,1,2,4,4,2,2,6,2,...] \approx 10,729 (
Коэффициент суперсеребряности представляет собой число Писо.
Минимальный полином (теория поля)|минимальный полином отношения суперсеребряного m(x) = x^{3}-2x^{2}-1 имеет дискриминант \Delta=-59< /math> и размножается на (x -19)(x -21)^2 \pmod{59}. Мнимое квадратичное поле K = \mathbb{Q}( \sqrt{\ Delta}) имеет двоичную квадратичную форму#Сокращение и номера классов|номер класса С аргументом \tau=(1 +\sqrt{\Delta})/2\, — генератор кольца целых чисел
Модульная функция Вебера|инвариант класса Вебера-Рамануджана Gn аппроксимируется с ошибкой :\sqrt{2}\,\mathfrak{f}( \sqrt{ \Delta} ) = \sqrt[4]{2}\,G_{59} \approx (e^{\pi \sqrt{ - \Delta + 24)^{1/24},
в то время как его истинное значение – это единственный действительный корень многочлена
:W_{59}(x) = x^9 -4x^8 +4x^7 -2x^6 +4x^5 -8x^4 +4x^3 -8x^2 +16x -8.

Модульная лямбда-функция#Lambda-star|эллиптический интеграл сингулярного значения : \lambda^{*}(59) =\sin ( \arcsin \left( G_{59}^{-12} \right) /2)
(что меньше 1/294 Эксцентриситета (математика)#Эллипсы|эксцентриситета орбиты Венеры).

==Последовательности Пелла третьего порядка==
Эти числа связаны с соотношением суперсеребра, как числа Пелла и число Пелла#Числа Пелла – Лукаса|Числа Пела-Люкаса связаны с соотношением серебра.

Фундаментальная последовательность определяется рекуррентным соотношением третьего порядка
: S_{n} =2S_{n-1} +S_{n-3} для с начальными значениями
: S_{0} =1, S_{1} =2, S_{2} =4 .

Первые несколько членов: 1, 2, 4, 9, 20, 44, 97, 214, 472, 1041, 2296, 5064,... Предельное соотношение между последовательными сроками - это соотношение суперсеребряного.

Первые 8 индексов n, для которых S_{n} является простым, — это n = 1, 6, 21, 114, 117, 849, 2418, 6144. Последнее число имеет 2111 десятичных цифр.

Последовательность можно расширить до отрицательных индексов, используя
: S_{n} =S_{n+3} -2S_{n+2} .

Производящая функция последовательности определяется выражением
: \frac{1}{1 - 2x - x^{3 = \sum_{n=0}^{\infty} S_{n}x^{n} for x < 1 /\варсигма \; .
Числа Пелля третьего порядка связаны с суммами биномиальных коэффициентов соотношением
: S_{n} =\sum_{k =0}^{\lfloor n /3 \rfloor}{n -2k \choose k} \cdot 2^{n -3k} \; .
Характеристическое уравнение (исчисление)|характеристическое уравнение рекуррентности: x^{3}-2x^{2}-1=0. Если три решения являются настоящим корнем : S_{n-2} =a \alpha^{n} +b \beta^{n} +c \gamma^{n} , с действительным Поскольку \left\vert b \beta^{n} +c \gamma^{n} \right\vert < 1 /\sqrt{ \alpha^{n и \alpha = \ варсигма , число
Коэффициенты a =b =c =1 дают формулу Бине для связанной последовательности A_{n} =S_{n} +2S_{n-3} .

Первые несколько членов: 3, 2, 4, 11, 24, 52, 115, 254, 560, 1235, 2724, 6008,...
Эта последовательность Пелля-Люкаса третьего порядка обладает свойством Малой теоремы Ферма | Ферма: если p простое число, A_{p} \equiv A_{1} \bmod p . Обратное неверно, но небольшое количество нечетных псевдопростых чисел \,n \mid (A_{n} -2) делает последовательность особенной.Подобные последовательности изучаются в:
Числа Пелла третьего порядка получаются как целые степени : Q = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} ,

: Q^{n} = \begin{pmatrix} S_{n} & S_{n-2} & S_{n-1} \\ S_{n-1} & S_{n-3} & S_ {n-2} \\ S_{n-2} & S_{n-4} & S_{n-3} \end{pmatrix}

След (линейная алгебра)#Отношение к собственным значениям|след
==Суперсеребряный прямоугольник==

Суперсеребряный прямоугольник — это прямоугольник, длины сторон которого находятся в
Дан прямоугольник высотой
По диагонали расположены два суперсеребряных прямоугольника. Исходный прямоугольник и масштабированные копии имеют длину диагонали в соотношении \varsigma /(\varsigma -1):(\varsigma -1):1 или, что то же самое, площадей \varsigma^2 / (\varsigma -1)^2:(\varsigma -1)^2:1. Площади прямоугольников напротив диагонали равны (\varsigma -1)/\varsigma, с соотношениями сторон \varsigma +1/ \varsigma (ниже) и \varsigma /(\varsigma -1) (выше).

Этот процесс можно повторить в самом маленьком суперсеребряном прямоугольнике в масштабе 1:\varsigma.

==См. также==
* Решения уравнений, подобных x^{3} =2x^{2} +1:
** Соотношение серебра – единственное положительное решение уравнения x^{2}=2x+1
** Золотое сечение – единственное положительное решение уравнения x^{2}=x+1
** Суперзолотое сечение – единственное реальное решение уравнения x^{3}=x^{2}+1

Кубические иррациональные числа
Математические константы
История геометрии
Целочисленные последовательности
Золотое сечение

Подробнее: https://en.wikipedia.org/wiki/Supersilver_ratio