Нормальный конус (выпуклый анализ) ⇐ Васина Википедия

[wiki_en]

В выпуклом анализе и оптимизации (математика)|оптимизация «нормальный конус» к множеству в точке представляет собой выпуклый конус, состоящий из векторов, которые образуют неострый угол с каждым возможным направлением от точки. Для выпуклого множества это двойной конус и полярный конус | полярный конус касательного конуса, который дает геометрическую форму условий оптимальности первого порядка.
== Определение ==

Пусть C — выпуклое подмножество конечномерного вещественного пространства скалярного произведения V, и пусть x\in C. '''Нормальный конус''' для C в точке x равен


N_C(x)=\{v\in V:\langle v,y-x\rangle\leq 0\text{для всех }y\in C\}.


Если x\notin C, нормальный конус часто определяется как пустой. Элементы N_C(x) называются векторами нормалей к C в точке x. Приведенное выше соглашение о знаках дает внешние нормали.

Если x является внутренней точкой C, то N_C(x)=\{0\. Если C — гладкое полномерное выпуклое тело, а x — граничная точка, то N_C(x) — это луч, созданный вектором внешней нормали в точке x.

== Субградиенты ==

Нормальные конусы тесно связаны с субградиентами. Если f:V\to\mathbb R\cup\{+\infty\ — правильная выпуклая функция, то ее надграфик
\operatorname{epi} f=\{(x,t):t\geq f(x)\
представляет собой выпуклое множество. Вектор p\in V является субградиентом f в точке x тогда и только тогда, когда (p,-1)\in N_{\operatorname{epi} f}(x,f(x)).

Аналогично,
f(y)\geq f(x)+\langle p,y-x\rangle\quad\text{для всех }y.

=== Наборы подуровней ===
Поскольку f является правильной выпуклой функцией, рассмотрим подуровень, заданный через точку x:
C=\{y:f(y)\leq f(x)\}.
Каждый субградиент
f в x определяет вектор нормали к C в
x. Действительно, если p\in\partial f(x) и y\in C, то
\langle p,y-x\rangle\leq f(y)-f(x)\leq 0.

При стандартных гипотезах регулярности, например, когда
x\in\operatorname{core}(\operatorname{dom} f) и x не является
минимизатора f, обратное также справедливо:
N_C(x)=\mathbb R_+\,\partial f(x),
или, что то же самое, нормальный конус множества подуровней - это замкнутый выпуклый конус
порожденный субдифференциалом.
== Примечания ==

* * * *
Выпуклый анализ
Выпуклая геометрия
Оптимизация

Подробнее: https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_co ... _analysis)