Теорема Дворецкого-Эрдёша-Какутани ⇐ Васина Википедия

[wiki_de]

Теорема Дворецкого-Эрдёша-Какутани является результатом стохастики, которая описывает поведение пересечения двух независимых броуновских движений в \mathbb{R}^d. Два независимых броуновских движения пересекаются в размерности d \leq 3 с положительной вероятностью, а в размерности d \ge 4 они пересекаются с вероятностью 0, происходит фазовый переход.

Результат показали в 1950 году Арье Дворецки, Пол Эрдеш и Шизуо Какутани.
== Теорема Дворецкого-Эрдёша-Какутани ==
После того, как Норберт Винер показал существование броуновского движения в 1923 году, Поль Леви доказал в 1940 году, что двумерное броуновское движение почти наверняка имеет бесконечное количество точек самопересечения. В 1944 году Шизуо Какутани доказал, что для d\geq 5 два независимых d-мерных броуновских движения почти наверняка не пересекаются, то есть
:B^{(1)}(\left(0,\infty)\right)\cap B^{(2)}(\left(0,\infty)\right) =\emptyset
почти наверняка произойдет.
В 1950 году в совместной статье Арье Дворецкого, Пола Эрдеша и Шизуо Какутани было наконец полностью охарактеризовано поведение пересечения двух независимых броуновских движений: для двух независимых броуновских движений в \mathbb{R}^d применимо следующее:
\big(B^{(1)}(\left(0,\infty)\right) \cap B^{(2)}(\left(0,\infty)\right)) \neq \emptyset\big) > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad d \le 3,
тогда как для d \geq 4 два пути почти наверняка не пересекаются.
=== Обозначение ===
Пусть (\Omega,\mathcal {A}, P_x) — вероятностное пространство, а B = (B_t)_{t \geq 0} — d-мерное броуновское движение, которое начинается в x\in\R^d, т. е. происходит B_0=x P_x — почти наверняка. Затем мы определяем интервал как величину
:B(\mathbb{R}_+) := \{B_t : t \ge 0\
и замкнутая оболочка|топологическое замыкание этих множеств
:\overline{B(\mathbb{R}_+)}:= \overline{\{B_t : t \ge 0\.

=== Заявление ===
Пусть (\Omega,\mathcal {A}, P_{x_1\otimes x_2}):=(\Omega_1\times \Omega_2,\mathcal {A}_1\otimes \mathcal {A}_2, P_{x_1}\otimes P_{x_2}) — пространство произведения и пусть B^1 = (B^1_t)_{t \geq 0} и B^2 = (B^2_t)_{t \geq 0} два независимых d-мерных броуновских движения относительно этого вероятностного пространства, которые начинаются в разных точках x_1, x_2 \in \mathbb{R}^d, то есть B^1_0=x_1 произойдет P_{x_1} — почти наверняка, а B^2_0=x_2 произойдет P_{x_2} — почти наверняка.

Для меры продукта P_{x_1 \otimes x_2} теперь применяется следующее:
:P_{x_1 \otimes x_2}\Big(\overline{B^1(\mathbb{R}_+)} \cap \overline{B^2(\mathbb{R}_+)} \neq \emptyset\Big) > 0\quad \Longleftrightarrow \quad d \leq 3.



Категория:Теорема (стохастическая)

Подробнее: https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_ ... s-Kakutani