Дональдсон-Теорема ⇐ Васина Википедия

[wiki_de]

'''Теорема Дональдсона''' — это важная теорема из математики|математических разделов дифференциальной топологии и математической калибровочной теории|математической калибровочной теории, согласно которой определенное число разрезов компактного пространства|компактной ориентации (математика)|ориентированное гладкое многообразие |гладкая 4-многообразная диагонализируемая матрица|диагонизируемая. В исходной версии теоремы 1983 года многообразие должно было быть просто связным; в более поздней версии теоремы 1987 года это условие больше не было необходимым; Центральными следствиями теоремы Дональдсона являются существование экзотических гладких структур в \R^4 и несостоятельность теоремы о H-кобордизме|Теоремы о h-кобордизме в четырех измерениях. Теорема Дональдсона положила начало теории Дональдсона для изучения 4-многообразий через пространства модулей антиавтодуальных уравнений Янга-Миллса | Уравнения Янга-Миллса (уравнения ASDYM) и считается одной из причин присуждения премии Медаль Филдса Саймона Дональдсона в 1986 году.

== Эскиз доказательства ==
Пусть X — компактное ориентируемое гладкое 4-многообразие и P\twoheadrightarrow X — \operatorname{SU}(2)-основное расслоение . Для соединения (основной пакет)|connection A\in\Omega_{\operatorname{Ad^1(P,\mathfrak{su}(2))
\cong\Omega^1(X,\operatorname{Ad}(P)) может иметь форму кривизны F_A:=\mathrm{d}_AA
=\mathrm{d}A+[A\клин A]
\in\Omega_{\operatorname{Ad^1(P,\mathfrak{su}(2))
\cong\Omega^1(X,\operatorname{Ad}(P)) определены, а с помощью оператора звезды Ходжа антиавтодуальные уравнения Янга-Миллса|Уравнения Янга-Миллса (уравнения ASDYM) F_A=-\star F_A. (Это работает только потому, что B является 4-многообразием, поскольку в противном случае F_A и \star F_A имеют разные степени.) Ваши решения будут называться антиавтодуальные связи Янга-Миллса и вместе они образуют пространство \mathcal{A}^-
\subset\Omega_{\operatorname{Ad^1(P,\mathfrak{su}(2))
\cong\Omega^1(X,\operatorname{Ad}(P)). По определению связности действует калибровочная группа \mathcal{G}
=\operatorname{Aut}_{\operatorname{SU}(2)}(P)
\cong\Gamma^\infty(X,\operatorname{Ad}(P)) на этихDonaldson 83, стр. 282, а также четко определено на < из-за совместимости с определением формы кривизны math>\mathcal{A}^-, где пространство орбит имеет вид \mathcal{B}^-
=\mathcal{A}^-/\mathcal{G} отмечено. Важным подпространством является пространство модулей, которое обозначается как \mathcal{M}^-\subset\mathcal{B}^-.
: \dim\mathcal{M}^-
=8\langle c_2(P),[X]\rangle
-3(1-b_1(X)+b_+(X)).

В этой формуле есть:

* c_2(P)
\in H^4(X;\mathbb {Z}) второй класс Чженя|класс Чженя основного расслоения. * [X]\in H_4(X;\mathbb{Z}) фундаментальный класс, заданный ориентацией базового многообразия X.
* \langle-,-\rangle\двоеточие
H^4(X;\Z)\times H_4(X;\Z)\rightarrow\Z пара Кронекера
* b_1(X)
=\dim H_1(X;\mathbb{R}) первое число Бетти базового многообразия X.
* b_+(X) размерность положительно определенного субвекторного пространства|субвекторного пространства H^2(X;\mathbb{R}) относительно формы сечения .

Если X просто соединяется, как в исходной версии, то соединение следует за H_1(X;\Z)
=\pi_1(X)^\mathrm{ab}=1 непосредственно b_1(X)=0, что упрощает формулу. Рассмотрим основной расслоение E\twoheadrightarrow B с \langle c_2(E),\rangle=1, так что \dim\mathcal{M }^ -=5. Пусть E\times_{\operatorname{SU}(2)}\C^2 — пакет сложного уровня, назначенный сбалансированным продуктом. Приводимые связи A\in\Omega_{\operatorname{Ad^1(P,\mathfrak{su}(2))
\cong\Omega^1(X,\operatorname{Ad}(P)), за исключением эффекта калибровочной группы, образуют особенности \mathcal{M}^- и соответствуют другим один-к-одному с разбиениями P\times_{\operatorname{SU}(2)}\C^2
=L\oplus L^{-1} в сумму Уитни с комплексным линейным расслоением L\twoheadrightarrow X.Donaldson 83, стр. 287 В этом случае это второй класс Черна с продуктом Cup, предоставленным:

: c_2(P)
=c_2(P\times_{\operatorname{SU}(2)}\C^2)
=c_2(L\oplus L^{-1})
=-c_1(L)\smile c_1(L).

Соединение Кронекера с фундаментальным классом [X]\in H_4(X;\mathbb{Z}) приводит к соединению с формой сечения следующим образом:

: Q(c_1(L),c_1(L))
=\langle c_1(L)\smile c_1(L),[X]\rangle
=-\langle c_2(P),[X]\rangle
=-1.

Число n(Q) пар \pm\alpha\ в H^2(X;\mathbb{Z}) с Q(\alpha,\ альфа)=-1 также является числом n(Q) особенностей \mathcal{M}^-.Donaldson 87, уравнение 2.2 Применяется следующее: n(Q)\leq\operatorname{rk}(Q) (поскольку в последнем число пар \pm\beta\in H^2 по-прежнему положительно (X;\mathbb{Z}) с Q(\beta,\beta)=1), и равенство применяется тогда и только тогда, когда Q диагонализуемо.Дональдсон 83, лемма 2 Некомпактное модульное пространство \mathcal {M}^- равно базовому многообразию X в точке бесконечность (в том смысле, что существует подмногообразие \mathcal{M}_\varepsilon\subset\mathcal{M}^- с сохраняющим ориентацию диффеоморфизмом \mathcal{M}_ \varepsilon\rightarrow X\times(0 ,\varepsilon) даетДональдсон 83, теорема 11), а также в средах особенностей n(Q) комплексного проективного пространства|комплексной проективной плоскости \ C P^2. С помощью хирургической теории и вставки в эти пространства получается компактификация, содержащая кобордизм между X и n(Q), не пересекающийся \C P^2 . Поскольку сигнатура (линейная алгебра) инвариантна кобордизмам и коммутирует с непересекающимися объединениями, следует:Donaldson 83, page 281

: \operatorname{rk}(Q)
=\сигма(X)
=\sigma\left(\coprod_{n(Q)}\C P^2\right)
=n(Q)\sigma(\C P^2)
=n(Q).

== Приложение к 4-сфере ==
4-сфера S^4 представляет собой компактное ориентируемое гладкое 4-многообразие. Поскольку их разрезная форма тривиальна из-за H_2(S^4;\Z)=1, этот пример не дает понимания самой теоремы Дональдсона, но дает представление о концепциях, использованных в доказательстве. и их связи. Основное расслоение \operatorname{SU}(2) над S^4 с классом Черна 1 является кватернионным слоем Хопфа S ^ 7\twoheadrightarrow S^4. Это можно определить абстрактно как конструкцию Хопфа структуры топологической группы на S^3\cong\operatorname{SU}(2) или непосредственно как действие единичных кватернионов \operatorname{ Sp}(1 )\cong\operatorname{SU}(2) на обоих компонентах S^7\subset\mathbb{H}^2, а также на проекцию на орбиту пространство, а именно кватернионное проективное пространство |кватернионное проективное пространство \mathbb{H}P^1\cong S^4. Сопряженное векторное расслоение \operatorname{Ad}(S^7)
=S^7\times_{\operatorname{SU}(2)}\mathfrak{su}(2) — это в точности кватернионное тавтологическое линейное расслоение (но понимаемое как комплексное плоское расслоение) \gamma_{ \mathbb{ H^{1,1} также определяется посредством идентификации S^4\cong\mathbb{H}P^1, в котором точки S^4 каждый соответствует одномерному субвекторному пространству кватернионов \mathbb{H}^2. H_1(S^4;\Z)=1 и H_1(S^4;\Z)=1 применяются, поэтому b_1(S^4) = 0 и b_+(S^4)=0. Согласно приведенной выше формуле, \dim\mathcal{M}^-=5, что для описанных инстантонов точно соответствует четырем степеням свободы. для местоположения и соответствует той степени свободы, которая соответствует размеру.

== См. также ==

* Базовый класс Кронхаймер-Мровка

* nlab:Donaldson's+theorem|Теорема Дональдсона о 𝑛Lab|nLab (английский язык|английский)

== Литература ==

* * * * *
==Индивидуальные доказательства==


Категория: Дифференциальная топология

Подробнее: https://de.wikipedia.org/wiki/Donaldson-Theorem