Поглощающее граничное условие Энквиста – Майды ⇐ Васина Википедия

[wiki_en]

В численном анализе «поглощающие граничные условия Энгквиста – Майды» представляют собой иерархию краевых задач | граничных условий для численного решения волновых уравнений. Впервые предложенные математиками Бьёрном Энгквистом и Эндрю Майдой в 1977 году, они предназначены для того, чтобы позволить волнам выходить из конечной вычислительной области с минимальным искусственным отражением (физика) | отражение, по существу делая границы прозрачными для исходящего излучения. В контексте вычислительной электромагнетики они известны как «поглощающие граничные условия Мура» в честь Геррита Мура, который в 1981 году представил дискретную версию граничных условий для метода конечных разностей во временной области.

==Теория==
Простую форму поглощающего граничного условия Энквиста-Майды можно сформулировать с помощью одномерного скалярного волнового уравнения:
:\left(L_x^2- v^{-2} L_t^2\right) U(x,t)=G U(x,t)=0
где L_{\{x,t\=\partial_{\{x,t\ — операторы в частных производных, а v — это скорость Wave#Wave|скорость волны; G — результирующий оператор волновой функции. Этот оператор можно разделить на два односторонних волновых оператора, в результате чего получаются уравнения переноса:
:G U(x,t)=G^+ G^- U(x,t)=0
:G^+=L_x+v^{-1} L_t
:G^-=L_x-v^{-1} L_t
Применение следующих граничных условий в области моделирования от x=0 до x=L приводит к подавлению исходящих волн:
:G^+ U(x,t)|_{x=0}=\left(L_x+v^{-1} L_t\right)U(x,t)|_{x=0}=0
:G^- U(x,t)|_{x=L}=\left(L_x-v^{-1} L_t\right)U(x,t)|_{x=L}=0

В случае более высоких измерений, то есть двумерного скалярного волнового уравнения, форма оператора может быть записана как:
:\left(L_x^2+L_y^2 - v^{-2} L_t^2\right) U(x,y,t)=G^+ G^- U(x,y,t)=0
Для волн, движущихся вдоль оси x, оператор разделения приводит к следующему:
:G^+ U(x,y,t)|_{x=0}=\left(L_x+v^{-1} L_t \sqrt{1 - v^{2}\frac{L_y^2}{L_t^2\right)U(x,t)|_{x=0}=0
:G^- U(x,y,t)|_{x=L}=\left(L_x-v^{-1} L_t \sqrt{1 - v^{2}\frac{L_y^2}{L_t^2\right)U(x,t)|_{x=L}=0
Члены в квадратных скобках представляют собой псевдодифференциальные операторы, а их теоретические точные формы — нелокальный оператор | нелокальный. На практике их можно локально аппроксимировать представлениями в ряды Тейлора. Приближение первого порядка (\sqrt{1-s^2} \approx 1) дает:
:G^+ \approx L_x+v^{-1} L_t
:G^- \approx L_x-v^{-1} L_t
что эквивалентно условию Энгквиста-Майды для одномерного волнового уравнения: в теоретическом пределе оно идеально поглощает нормально падающие волны, вызывая при этом отражения волн, падающих под другими углами. Аппроксимация второго порядка (\sqrt{1-s^2} \approx 1-s^2/2) дает лучшую производительность:
:G^+ \approx L_x+v^{-1} L_t \left[1-v^{2}\frac{L_y^2}{2 L_t^2}\right]=L_x+v^{-1} L_t-\frac{v^2 L_y^2}{2L_t^2
:G^- \approx L_x-v^{-1} L_t \left[1-v^{2}\frac{L_y^2}{2 L_t^2}\right]=L_x-v^{-1} L_t+\frac{v^2 L_y^2}{2L_t^2

Граничные условия более высокого порядка также можно получить с помощью аппроксимации Паде | Полиномы Паде или Чебышева | Аппроксимация Чебышева псевдодифференциальных операторов; они известны как обобщенные поглощающие граничные условия Трефетена-Хальперна.

==Приложения==
С момента своего появления поглощающие граничные условия Энгквиста-Майды применялись для численного решения различных задач в различных областях, от акустики до сейсмологии, особенно в рамках метода конечных разностей | конечных разностей и метода конечных элементов | формулировок конечных элементов. расширение поглощающих граничных условий на метод конечных разностей во временной области (FDTD). В течение десятилетия после его появления граничные условия Мура были популярны в приложениях FDTD; впоследствии в 1990-х годах на смену ему пришли идеально подобранные слои.

==См. также==
* Идеально подобранный слой
* Псевдодифференциальный оператор
* Радиация












Граничные условия
Вычислительная электромагнетика
Радиация
Численные дифференциальные уравнения

Подробнее: https://en.wikipedia.org/wiki/Engquist% ... _condition