Классифицирующее пространство для SU(n) ⇐ Васина Википедия

[wiki_en]

В математике '''классифицирующее пространство \operatorname{BSU}(n)''' '''для специальной унитарной группы''' \operatorname{SU}( n) — базовое пространство универсального пакета|universal \operatorname{SU}(n) основного пакета \operatorname{ESU}(n)\rightarrow\operatorname{BSU }(n). Это означает, что главные расслоения \operatorname{SU}(n) над комплексом CW с точностью до изоморфизма находятся в биекции с гомотопическими классами его непрерывной функции|непрерывных отображений в \operatorname{BSU}( н). Изоморфизм задается функцией Pullback Bundle|pullback.

== Определение ==
Существует каноническое включение комплексно-ориентированных грассманианов, заданное формулой \widetilde\operatorname{Gr}_n(\mathbb{C}^k)\hookrightarrow\widetilde\operatorname{Gr}_n(\mathbb{C}^{k +1}),
V\mapsto V\times\{0\}. Его копредел:

\operatorname{BSU}(n)
:=\widetilde\operatorname{Gr}_n(\mathbb{C}^\infty)
:=\lim_{n\rightarrow\infty}\widetilde\operatorname{Gr}_n(\mathbb{C}^k).

Поскольку вещественно-ориентированные грассманианы могут быть выражены как однородное пространство следующим образом:

: \widetilde\operatorname{Gr}_n(\mathbb{C}^k)
=\operatorname{SU}(n+k)/(\operatorname{SU}(n)\times\operatorname{SU}(k))

структура группы переносится в \operatorname{BSU}(n).

== Простейшие классифицирующие пространства ==

* Поскольку \operatorname{SU}(1)
\cong 1 — тривиальная группа, \operatorname{BSU}(1)
\cong\{*\ — тривиальное топологическое пространство.

* Поскольку \operatorname{SU}(2)
\cong\operatorname{Sp}(1), есть \operatorname{BSU}(2)
\cong\operatorname{BSp}(1)
\cong\mathbb{H}P^\infty.

== Классификация основных пакетов ==
Для топологического пространства X множество главных расслоений \operatorname{SU}(n) на нем с точностью до изоморфизма обозначается \operatorname{Prin}_{\ имя_оператора{SU}(n)}(X). Если X является комплексом CW, то карта:
: [X,\operatorname{BSU}(n)]\rightarrow\operatorname{Prin}_{\operatorname{SU}(n)}(X),
[f]\mapsto f^*\operatorname{ESU}(n)

является биекцией|биективным.

== Кольцо когомологий ==
Кольцо когомологий \operatorname{BSU}(n) с коэффициентами в кольце (математика)|кольце \mathbb{Z} целых чисел|целых чисел генерируется методом Черна class|Классы Черна:Hatcher 02, пример 4D.7.

: H^*(\operatorname{BSU}(n);\mathbb{Z})
=\mathbb{Z}[c_2,\ldots,c_n].

== Бесконечное классифицирующее пространство ==
Канонические включения \operatorname{SU}(n)\hookrightarrow\operatorname{SU}(n+1) индуцируют канонические включения \operatorname{BSU}(n)\hookrightarrow\operatorname{BSU }(n+1) в соответствующих классифицирующих пространствах. Их соответствующие копределы обозначаются как:

: \operatorname{SU}
:=\lim_{n\rightarrow\infty}\operatorname{SU}(n);
: \operatorname{BSU}
:=\lim_{n\rightarrow\infty}\operatorname{BSU}(n).

\operatorname{BSU} действительно является классифицирующим пространством \operatorname{SU}.

== См. также ==

* Классифицирующее пространство для O(n)
* Классификационное пространство для SO(n)
* Классифицирующее пространство для U(n)

== Литература ==

* *

* nlab:classifying+space|классифицирующее пространство на 𝑛Lab|nLab
* nlab:BSU(n)|BSU(n) на nLab



Алгебраическая топология

Подробнее: https://en.wikipedia.org/wiki/Classifyi ... _for_SU(n)