Классифицирующее пространство SO(n) ⇐ Васина Википедия

[wiki_de]

'''классифицирующее пространство|классифицирующее пространство''' \operatorname{BSO}(n) '''специальная ортогональная группа|специальная ортогональная группа Ли''' \operatorname {SO}(n) — это базовое пространство универсального основного расслоения|universal \operatorname{SO}(n)-основного расслоения|основного расслоения \operatorname {ESO}(n)\ rightarrow\operatorname{BSO}(n). Это означает, что основные расслоения \operatorname{SO}(n) над комплексом CW находятся в биекции с гомотопическим классом|гомотопическими классами его непрерывной функции|непрерывными отображениями в \operatorname{BSO }( n) стоять. Биекция задается втянутым расслоением | втянутым основным расслоением.

== Определение ==
Существует каноническое включение вещественно ориентированных многообразий Грассмана|многообразий Грассмана, заданное формулой \widetilde\operatorname{Gr}_n(\mathbb{R}^k)\hookrightarrow\widetilde\operatorname{Gr}_n(\mathbb {R }^{k+1}),
V\mapsto V\times\{0\}. Их прямое ограничение: Milnor & Stasheff 74, раздел 12.2 «Ориентированный универсальный пакет» на стр. 151

: \operatorname{BSO}(n)
:=\widetilde\operatorname{Gr}_n(\mathbb{R}^\infty)
:=\lim_{n\rightarrow\infty}\widetilde\operatorname{Gr}_n(\mathbb{R}^k).

Поскольку вещественно-ориентированные многообразия Грассмана могут быть выражены как однородные пространства следующим образом:

: \widetilde\operatorname{Gr}_n(\mathbb{R}^k)
=\operatorname{SO}(n+k)/(\operatorname{SO}(n)\times\operatorname{SO}(k))

Структура группы переносится в \operatorname{BSO}(n).

== Наименьшее классификационное пространство ==

* Это \operatorname{SO}(1)
\cong 1 — тривиальная группа и, следовательно, \operatorname{BSO}(1)
\cong\{*\ тривиальное топологическое пространство.

* Это \operatorname{SO}(2)
\cong\operatorname{U}(1) и, следовательно, \operatorname{BSO}(2)
\cong\operatorname{BU}(1)
\cong\mathbb{C}P^\infty бесконечное комплексное проективное пространство|бесконечное комплексное проективное пространство.

== Классификация основных пучков волокон ==
Для топологического пространства|топологического пространства X пусть \operatorname{Prin}_{\operatorname{SO}(n)}(X) будет набором \ имя оператора {SO}(n)-основное расслоение на этом расслоении с точностью до изоморфизма. Если X является комплексом CW, то отображение будет следующим:

: [X,\operatorname{BSO}(n)]\rightarrow\operatorname{Prin}_{\operatorname{SO}(n)}(X),
[f]\mapsto f^*\operatorname{ESO}(n)

биективный.
== Кольцо когомологий ==
Кольцо когомологий \operatorname{BSO}(n) с коэффициентами из \mathbb{Z}_2 генерируется классами Стифеля-Уитни|классами Бутса-Уитни: < ref name=":9">Милнор и Сташефф, теорема 12.4.Хэтчер 02, пример 4D.6.

: H^*(\operatorname{BSO}(n);\mathbb{Z}_2)
=\mathbb{Z}_2[w_2,\ldots,w_n].

Этот результат в более общем смысле применим ко всем полям (алгебра)|полям с характеристиками (алгебра)|характеристика \operatorname{char}=2.

Кольцо когомологий \operatorname{BSO}(n) с коэффициентами в поле \mathbb{Q} рациональных чисел|рациональных чисел определяется классами Понтрягина и класс Эйлера создает:

: H^*(\operatorname{BSO}(2n);\mathbb{Q})
\cong\mathbb{Q}[p_1,\ldots,p_n,e]/(p_n-e^2),
: H^*(\operatorname{BSO}(2n+1);\mathbb{Q})
\cong\mathbb{Q}[p_1,\ldots,p_n].

Эти результаты в более общем смысле применимы ко всем телам с характеристикой \operatorname{char}\neq 2.

== Бесконечное классифицирующее пространство ==
Канонические включения \operatorname{SO}(n)\hookrightarrow\operatorname{SO}(n+1) индуцируют канонические включения \operatorname{BSO}(n)\hookrightarrow\operatorname{BSO }(n+1)в соответствующих классифицирующих пространствах. Прямые пределы каждой из этих двух цепочек включений задаются следующим образом:

: \operatorname{SO}
:=\lim_{n\rightarrow\infty}\operatorname{SO}(n)
: \operatorname{BSO}
:=\lim_{n\rightarrow\infty}\operatorname{BSO}(n)

назначен. \operatorname{BSO} на самом деле является классифицирующим пространством \operatorname{SO}.

== См. также ==

* Классифицирующее пространство O(n)
* Классифицирующее пространство U(n)
* Классифицирующее пространство SU(n)

== Литература ==

* * *

* nlab:classifying+space|классифицирующее пространство в nLab (английский язык|английский)
* nlab:BSO(n)|BSO(n) на nLab (английский)



Категория:Алгебраическая топология

Подробнее: https://de.wikipedia.org/wiki/Klassifiz ... _von_SO(n)