DeShouillers -Resress -Tenenbaum Теорема ⇐ Васина Википедия

[wiki_en]

'' '' '' Deshouillers - rdess - Tenenbaum Theoorem '' '' (или, вкратце, '' DDT Theoorem '' '' ') является результатом вероятностной теории чисел, которая описывает распределение вероятности Divisor d < /Math> естественного числа n в интервале [1, n] , где делитель d Выбрано в рамках равномерного распределения (дискретное) | Единое распределение. Точнее, теорема посвящена сумме функций распределения логарифма | Логарифмическое соотношение делителей к растущим интервалам. Теорема гласит, что сумма Cesàro функций распределения сходится к распределению аркисина, что означает, что малые и большие значения имеют высокую вероятность. Таким образом, результат также называется «Арксинским законом Deshouillers -rdess -Tenenbaum».

Теорема была доказана в 1979 году Францией | Французские математики Жан-Марк ДеШуиллерс, платье Франсуа и Жеранд Тененбаум.
== DeShouillers - rdess - Tenenbaum Теорема ==
Пусть n \ geq 1 < /math> будет естественным числом и исправьте следующее нотацию:
* t (n, r) = \ {s \ in \ mathbb {n}: s | n ,; s \ leq r \} - набор делителей n , которые меньше или равны r < /math>.
* \ tau (n, r): = | t (n, r) | < /math> - это количество делителей n, которые меньше или равны r.
* t (n): = t (n, n) < /math>
* \ tau (n): = | t (n, n) | < /math>
* (\ omega, \ mathcal {a}, p) < /math> - пространство вероятности.

=== Введение ===
Let d: \ omega \ to t (n) быть равномерным распределением (дискретным) | равномерно распределенная случайная величина на наборе делителей математики> n и рассмотрим логарифмическое соотношение
: d_n = \ frac {\ log (d)} {\ log (n)} < /math>,
Это означает, что реализации случайной величины d_n характеризуются делителями n, где каждый делитель имеет вероятность 1/\ tau (n) . Функция распределения D_N определяется как
: \ mathbb {p} (d_n \ leq t): = \ frac {1} {\ tau (n)} \ sum \ limits_ {s | n, s \ leq n^t} 1 = \ frac { \ tau (n, n^t)} {\ tau (n)}, \ Quad для 0 \ leq t \ leq 1 < /math>.

Легко увидеть, что d_1, d_2, \ dots, d_n, \ dots не сходится в распределении | Сходиться в распределении при рассмотрении последующих индексированных чисел, поэтому он заинтересован в сумме Césaro.

=== Оператор ===
Let (d_n) _ {n \ geq 1} стать последовательности вышеуказанных случайных величин и let x \ geq 2 . Затем для всех T \ in [0,1] < /math> среднее значение Cesàro удовлетворяет равномерной конвергенции к
: \ frac {1} {x} \ sum \ limits_ {n \ leq x} \ mathbb {p} (d_n \ leq t) = \ frac {2} {\ pi} \ arcsin \ sqrt {t}+\ mathcal {o} \ left (\ frac {1} {\ sqrt {\ log (x) \ right) .
== Дополнительные результаты ==
Eugenijus Manstavičuis, Gintautas bareikis и Nikolai Mikhailovich Timofeev | Nikolai Timofeev расширил теорему, заменив функцию подсчета 1 в \ tau (n, v) на множественную функцию > f: \ mathbb {n} \ to \ mathbb {r} _+< /math> и изучил стохастическое поведение
: x (n, v): = \ frac {m (n, v)} {m (n)} < /math>,
где
: m (n, v): = \ sum \ limits_ {s | n, s \ leq v} f (s), \ Quad m (n): = m (n, n) .

=== Результат Manstavičius-timofeev ===
Let \ mathbb {d} [0,1] Be Skorokhod Space и Let \ mathcal {b} (\ mathbb {d} [0,1]) Be the Борель σ-Альгебра. Для 1 \ leq m \ leq x , определите дискретную меру \ mu_x (\ {m \}): = 1/[x] , описывая вероятность выбора < Математика> m от [1, x] с вероятностью 1/[x] .

Манставичюс и Тимофев изучили процесс \ left (x_x \ right) _ {x \ geq m} < /math> с
: x_x: = x_x (n, t) = \ frac {m (n, x^t)} {m (n)} < /math>
Для t \ in [0,1] и измеры изображения \ mu_x \ circ x_x^{-1} on \ mathbb {d} [0,1 ] < /math>.

То есть мера изображения определяется для b \ in \ mathcal {b} (\ mathbb {d} [0,1]) < /math> следующим образом:
: \ mu_x (b): = \ frac {1} {[x]} \ sum \ limits_ {m \ leq x} 1_ {b} (x_x (m, \ cdot)). < ref>
Они показали, что если f (p) = c> 1 для каждого основного числа p и f (p^k) \ geq 0 для всех Prime Numbers p и All k \ geq 2 , затем \ mu_x \ circ x_x^{-1} сходится на слабую конвергенцию | слабо в меру (Математика) | Измерение в \ mathbb {d} [0,1] < /math> as x \ to \ infty < /math>.

=== Результат gareikis-manstavičius ===
Bareikis и Manstavičus генерировали теорему Deshouillers-Dress-Tenenbaum и вывели ограниченную теорему для суммы
: s_x (t): = \ frac {1} {x} \ sum \ limits_ {m \ leq x} \ frac {m (m, m^t)} {m (m)}
Для класса мультипликативных функций f , которые удовлетворяют определенным аналитическим свойствам. Полученное распределение является более общим бета -распределением.

Теоремы в теории аналитических номеров

Подробнее: https://en.wikipedia.org/wiki/Deshouill ... um_theorem