Minlos–Sazonov theorem ⇐ Васина Википедия

[wiki_en]

Теорема Минлоса–Сасонова является результатом теории меры в топологических векторных пространствах. Это обеспечивает достаточное условие для того, чтобы цилиндрическая мера была сигма-аддитивной функцией множества |σ-аддитивной на локально выпуклом пространстве. Это тот случай, когда его преобразование Фурье является непрерывной функцией|непрерывной в нуле в «топологии Сазонова», и такая топология называется «достаточной». Теорема названа в честь двух российских математиков Роберта Минлоса|Роберта Адольфовича Минлоса и Вячеслава Васильевича Сазонова.

Теорема обобщила две классические теоремы: теорему Минлоса (1963 г.) и теорему Сазонова (1958 г.). Позже, в 1970-х годах, математики Альберт Бадрикян и Лоран Шварц обобщили его на локально выпуклые пространства. Поэтому теорему иногда также называют «теоремой Минлоса-Сасонова-Бадрикиана».
==Теорема Минлоса–Сасонова==
Пусть (X,\tau) — локально выпуклое пространство, X^* и X' — соответствующие алгебраическое и топологическое двойственные пространства, и \langle,\rangle:X\times X'\to \mathbb{R} — это двойная система|двойной пара. Топология \tau^K на X называется «совместимой» с двойственным паром \langle,\rangle, если соответствующая топологическая двойственная пара пространство — это X'. Полунорма p на X называется «гильбертовой» или «гильбертовой полунормой», если существует положительно определенная билинейная форма b\colon X\ раз X\to\mathbb{R} такое, что p(x)=\sqrt{b(x,x)} для всех x\in Х.

Пусть \mathfrak{A}:=\mathfrak{A}(X,X'):=\bigotimes\limits_{n=1}^{\infty}\mathfrak{A}_{f_1,\dots, f_n обозначает цилиндрическую σ-алгебру|цилиндрическую алгебру.
===Топология Сазонова===
Пусть p — полунорма для X, а X_{p — фактор-пространство X_{p}:=X/p^ {-1}(0) с каноническим отображением Q_{p}:X\to X_{p}, определенным как Q_{p}:x\mapsto [х]. Пусть \overline{p} будет нормой
:\overline{p}(y)=p\left(Q^{-1}_{p}(y)\right)
на X_{p} обозначьте соответствующее банахово пространство как \overline{X}_{p} и пусть i_{p}:X_p\hookrightarrow \overline {X}_p — естественное вложение, затем определите непрерывную карту
:\overline{Q}_p(x):=i_p\left(Q_{p}(x)\right)
это отображение \overline{Q}_p:X\ в \overline{X}_p. Пусть q — полунорма такая, что для всех x\in X
:p(x)\leq C q(x),
затем определите непрерывный линейный оператор T_{q,p}: \overline{X}_{q}\to \overline{X}_{p} следующим образом:
* Если z\in i_q(X_q)\subseteq \overline{X}_q, то T_{q,p}(z):=\overline{Q}_p\left(\overline {Q}^{-1}_q(z)\right), что четко определено.
* Если z\not\in i_q(X_q) и z\in \overline{X}_q, то существует последовательность (z_n)_n\in i_q(X_q), который сходится к z и последовательности \left(T_{q,p}(z_n)\right)_n сходится в \overline{X}_p, поэтому T_{q,p}(z ):=\lim\limits_{n\to \infty}\left(T_{q,p}(z_n)\right)_n.
Если p является гильбертовым, то \overline{X}_p является гильбертовым пространством.

===Топология Сазонова===
Пусть \mathcal{P} — семейство полунорм Гильберта, определенное следующим образом: существует полунорма Гильберта q такая, что для всех x\in X
:p(x)\leq C q(x)
и T_{q,p — оператор Гильберта-Шмидта. Тогда топология \tau^S:=\tau^S(X,\tau), индуцированная семейством \mathcal{P}, называется '''топологией Сазонова ''' или '''S-Topologie'''. Очевидно, это зависит от базовой топологии \tau
и если (X,\tau) является ядерным пространством|ядерным, то \tau^S=\tau.

===Формулировка теоремы===
Пусть \mu — цилиндрическая мера на \mathfrak{A} и \tau — локально выпуклая топология, совместимая с двойственным paar, и пусть \tau^S:=\tau^S(X,\tau) — топология Сазонова. Тогда \mu является σ-аддитивным на \mathfrak{A}, если преобразование Фурье \hat{\mu}(f):X'\to \mathbb {C} непрерывен в нуле в \tau^S.

==Библиография==
* *


Теоремы теории меры
Теоремы вероятности

Подробнее: https://en.wikipedia.org/wiki/Minlos%E2 ... ov_theorem