Дьядическая производная ⇐ Васина Википедия

[wiki_en]

В математическом анализе «диадическое производное» - это концепция, которая расширяет понятие производной | Классическая дифференциация на функции, определенные в диадической группе или диадическом поле. В отличие от классической дифференциации, которая основана на пределе (математике) | Ограничение различий, диадическая дифференциация определяется с использованием диадического (бинарного) добавления и отражает прерывистый характер функций Уолша.

== определение ==
=== Pointwise диадическая производная ===
Для функции f , определенной на [0,1), первое «точечное диадическое производное» f в точке x определяется как:
: f^{[1]} (x) = \ lim_ {m \ to \ infty} \ sum_ {j = 0}^{m-1} 2^{j-1} [f (x)-f (x \ oplus 2^{-j-1})] < /math>

Если этот предел существует. Здесь \ oplus обозначает операцию диадического добавления, которая определяется с использованием двоичного представления | диадическое (двоичное) представление чисел. это, если
= \sum_{j=0}^{\infty} x_j 2^{-j-1} and y = \sum_{j=0}^{\infty} y_j 2^{-j-1} with x_j, y_j \in \{0, 1\},
Тогда
: x \ oplus y = \ sum_ {j = 0}^{\ infty} (x_j \ oplus y_j) 2^{-j-1} < /math>,
где
: x_j \ oplus y_j = (x_j + y_j) \ pmod 2 . onneweer, c.w. (1979). «О определении диадической дифференциации». «Применимый анализ», 9 (4): 267-278. < /Ref>

Диадические производные высшего порядка определяются рекурсией (математика) | рекурсивно: f^{[r]} (x) = (f^{[r-1]})^{[1]} (x) для r \ in \ mathbb n .
=== Сильная диадическая производная ===

«Сильная диадическая производная» определяется в контексте функциональных пространств. Let x (0, 1) обозначает одно из функциональных пространств l^p (0, 1) для 1 \ le p \ le \ infty (lp_space | '' l '' '' p '' space); l^\ infty (0, 1) (l-infinity | '' l '' '' ∞ '' space); или c^\ oplus [0, 1] (пространство диадически непрерывных функций). Если f \ in x (0, 1) и существует g \ in x (0, 1) такова, что
Затем g называется первой сильной диадической производной f , обозначенной g = d^{[1]} f . Engels, W. (1985). «О характеристике диадического производного». '' Acta Mathematica Hungarica '', 46 (1-2): 47-56. < /Ref> Производные высшего порядка могут быть определены рекурсивно, аналогичные точечным диадическим производным.
== Примеры ==

3, & x \ in [0,1 /4) \\
-1, & x \ in [1 /4,1)
6, & x \ in [0,1 /4) \\
-4, & x \ in [1/4,1/2) \\
-2, & x \ in [1/2,3/4) \\
0, & x \ in [3/4,1)
1, & x \ in [0,1) \ cap \ mathbb {q} \\
0, & x \ in [0,1) \ setminus \ mathbb {q}

== История ==
Диадическое производное было введено математиком Джеймсом Эдмундом Гиббсом в контексте функций Уолша и дополнительно разработано Полом Батцолем и Хайнцем-Джозефом Вагнером. «Уолш функционирует и дифференциация». «Материалы симпозиума и семинара по приложениям Walsh-функции». Военно-исследовательская лаборатория, Вашингтон, округ Колумбия, с. 1-29. «Серия Уолш-Фурье и концепция производной». «Применимый анализ», 3 (1): 29-46. < /Ref>

Дальнейшие вклад вступили от C. W. Onneweer, который расширил концепцию на дробную дифференциацию и P-Adic | '' P ''-Adic Fields. Onneweer, C.W. (1977). «Фракционная дифференциация в группе целых чисел поля P-ADIC или P-серии». «Анализ математика», 3 (2): 119-130.
== См. Также ==
* Функция Walsh
* Диадическая группа
* Haar Waveret
* Гармонический анализ
* Walsh Transform

Математический анализ
Дифференциальное исчисление
Гармонический анализ
Функциональный анализ

Подробнее: https://en.wikipedia.org/wiki/Dyadic_derivative