Дефицит (статистика) ⇐ Васина Википедия

[wiki_en]

В статистике «недостаток» — это мера сравнения статистической модели с другой статистической моделью. Этот термин был введен в 1960-е годы французским математиком Люсьеном Ле Камом, который использовал его для доказательства приближенной версии теоремы Блэквелла-Шермана-Стейна.
== Введение ==
Ле Кам определил статистическую модель более абстрактно, чем вероятностное пространство с семейством вероятностных мер. Он также не использовал термин «статистическая модель», а вместо этого использовал термин «эксперимент». В своей публикации 1964 года он представил статистический эксперимент с набором параметров \Theta как тройкой (X,E,(P_\theta)_{\theta\in\Theta})< /math>, состоящий из набора X, векторной решетки E с единицей I и семейства нормализованных положительных функционалов (P_\ theta)_{\theta \in \Theta на E.
=== Основные понятия ===
Пусть \Theta — пространство параметров. Учитывая абстрактное L-пространство|Абстрактное L1-пространство (L,\|\cdot\|) (т. е. банахову решетку такую, что для элементов x, y\geq 0 также \|x+y\|=\|x\|+\|y\|) с учетом линейных положительных функционалов \{P_{\ theta}:\theta\in\Theta\. «Эксперимент» \mathcal{E} — это отображение\mathcal{E}:\Theta \to L формы \theta \mapsto P_ {\theta}, такой что \|P_{\theta}\|=1. L — это полоса, индуцированная \{P_{\theta}:\theta\in\Theta\, поэтому мы используем обозначение L(\mathcal{ Д}). Для \mu\in L(\mathcal{E}) обозначим \mu^{+}=\mu \vee 0=\max(\mu,0). Двойственное пространство|топологическое двойственное M L-пространства с сопряженной нормой \|u\|_M=\sup\{|\langle u,\mu\rangle|; \|\mu\|_L\leq 1\ называется «абстрактным M-пространством». Это также решетка с единицей измерения, определенной через I \mu=\|\mu^+\|_L-\|\mu^-\|_L für \mu\in L.

Пусть L(A) и L(B) — два L-пространства двух экспериментов A и B, тогда вызывается положительное, сохраняющее норму линейное отображение, т. е. \|T\mu^{+}\|=\|\mu^{+}\| для всех \mu\ в L(A) — переход. Сопряженным к переходу является положительное линейное отображение двойственного пространства M_B для L(B) в двойственное пространство M_A для L(A), так что единица измерения M_A является образом единицы измерения M_B ist.

== Дефицит ==
Пусть \Theta — пространство параметров, а \mathcal{E}:\theta \mapsto P_{\theta и \mathcal{F}:\theta \ Mapsto Q_{\theta — это два эксперимента, проиндексированные \Theta. Le L(\mathcal{E}) и L(\mathcal{F}) обозначают соответствующие L-пространства и пусть \mathcal{T} — набор всех переходов от L(\mathcal{E}) к L(\mathcal{F}).

'''Недостаток''' \delta(\mathcal{E},\mathcal{F}) \mathcal{E} по отношению к \ mathcal{F} – это число
:\delta(\mathcal{E},\mathcal{F}):=\inf\limits_{T\in \mathcal{T\sup\limits_{\theta \in \Theta} \tfrac{1} {2}\|Q_{\theta}-TP_{\theta}\|_{\text{TV, где \|\cdot\|_{\text{TV обозначает Total_variation#Modern_definition_of_total_variation_norm|норму общего отклонения \|\mu\|_{\text{TV=\mu^{+ }+\mu^{-. Коэффициент \tfrac{1}{2} предназначен только для вычислительных целей и иногда опускается.

=== Расстояние Ле Кама ===
'''Расстояние Ле Кама''' представляет собой следующую псевдометрику
:\Delta(\mathcal{E},\mathcal{F})=\delta(\mathcal{E},\mathcal{F})\vee\delta(\mathcal{F},\mathcal{E })= \operatorname{max}\left(\delta(\mathcal{E},\mathcal{F}),\delta(\mathcal{F},\mathcal{E})\right).
Это порождает отношение эквивалентности, и когда \Delta(\mathcal{E},\mathcal{F})=0, тогда говорят \mathcal{E} и \mathcal{F} являются «эквивалентными». Эквивалентный класс C_{\mathcal{E для \mathcal{E} также называется «типом \mathcal{E}». '.

Часто интересуются семействами экспериментов (\mathcal{E}_n)_{n} с \{P_{n,\theta}\colon \theta \in \Theta_{n }\ и (\mathcal{F}_n)_{n} с \{Q_{n,\theta}\colon \theta \in \Theta_{n }\. Если \Delta(\mathcal{E}_n,\mathcal{F}_n)=0 как n\to \infty, то говорят (\mathcal {E}_n) и (\mathcal{F}_n) «асимптотически эквивалентны».

Пусть \Theta — пространство параметров, а E(\Theta) — множество всех типов, порождаемых \Theta, тогда Le Расстояние кулачка \Delta является полным относительно E(\Theta). Условие \delta(\mathcal{E},\mathcal{F})=0 вызывает частичный порядок в E(\Theta), говорят \ mathcal{E} "лучше", "более информативен" или "сильнее", чем \mathcal{F}.

== Библиография ==
* |first=Люсьен
|last=Ле Кам
|title=Асимптотические методы в статистической теории принятия решений
|series=Серия Спрингера в статистике
|publisher=Спрингер, Нью-Йорк
|дата=1986
|doi=10.1007/978-1-4612-4946-7
* |first=Люсьен
|last=Ле Кам
|title=Достаточность и приблизительная достаточность
|объем=35
|journal=Анналы математической статистики
|номер=4
|publisher=Институт математической статистики
|pages=1419 - 1455
|дата=1964
|doi=10.1214/aoms/1177700372
* |first=Эрик
|last=Торгерсен
|title=Сравнение статистических экспериментов
|издатель=Издательство Кембриджского университета, Vereinigtes Königreich
|дата=1991
|doi=10.1017/CBO9780511666353



Статистическая теория

Подробнее: https://en.wikipedia.org/wiki/Deficiency_(statistics)