Мобильная версияЧтобы проиллюстрировать эту концепцию, рассмотрим следующее нелинейное уравнение Шредингера с заданной нормой: : -\Delta u + \lambda u = f(u), \quad \int_{\mathbb{R}^N} |u|^2 \, dx = 1,
где \Delta — оператор Лапласа, N\ge1, \lambda\in \mathbb{R} — множитель Лагранжа, а f — нелинейность. Если мы хотим найти нормализованное решение уравнения, нам нужно рассмотреть следующий функционал (математика)|функционал: Пусть I: H^{1}_{0}(\mathbb{R}^{N} )\rightarrow \mathbb{R} определяется
:I(u)=\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^{N|\nabla u|^{2}dx -\int_{\mathbb{R}^{NF (u)dx
с ограничением
:\mathcal{M}=\{u\in H^{1}_{0}(\mathbb{R}^{N}): \int_{\mathbb{R}^{N u^{ 2}=1\}, \ \ \ \
где H^{1}_{0}(\mathbb{R}^{N}) — гильбертово пространство, а F(s) — примитив f(s) .
Распространенным методом поиска нормированных решений являются вариационные методы, т. е. нахождение максимумов и минимумов соответствующего функционала с заданной нормой. Таким образом, мы можем найти слабое решение уравнения. Более того, если оно удовлетворяет ограничению, это нормализованное решение.
==Простой пример на евклидовом пространстве==
Изображение: Лагранж очень простой-1b.svg|thumb|right|300px|Пример задачи с ограничениями
В евклидовом пространстве \mathbb{R}^3 мы определяем функцию f:\mathbb{R}^2 \rightarrow\mathbb{R}:
f(x,y) = (x + y)^2 с ограничением x^2 +y^2 =1.
Путем прямых вычислений нетрудно заключить, что ограниченный максимум равен f=2 с решениями (x,y)= (\frac{\sqrt{2{2},\ frac{\sqrt{2{2}) и (x,y)= (\frac{-\sqrt{2{2},\frac{-\sqrt{2{2})< /math>, а ограниченный минимум — f=0, с решениями (x,y)= (\frac{-\sqrt{2{2},\frac{\sqrt{ 2{2}) и (x,y)= (\frac{\sqrt{2{2},\frac{-\sqrt{2{2}).
==История==
Исследование нормализованных решений нелинейного уравнения Шредингера можно проследить до изучения решений стоячей волны с заданной L^2-нормой. Юрген Мозер
Что касается вариационной проблемы, ранние фундаментальные работы в этой области включают принцип концентрации-компактности, введенный Пьером-Луи Лионсом в 1984 году, который предоставил основные методы для решения этих проблем.
Для вариационных задач с заданной массой несколько методов, обычно используемых для решения неограниченных вариационных задач, больше недоступны. В то же время появился новый критический показатель — L^2-критический показатель. Из неравенства Гальярдо-Ниренберга мы можем обнаружить, что нелинейность, удовлетворяющая L^2-субкритическому, критическому или сверхкритическому, приводит к другой геометрии функционала. В случае, когда функционал ограничен снизу, т.е. L^2 докритический случай, самый ранний результат по этой проблеме был получен Чарльзом-Александром Стюартом
В случае, когда функционал не ограничен снизу, т.е. L^2 надкритический случай, возникают новые трудности. Во-первых, поскольку \lambda неизвестен, невозможно построить соответствующее многообразие Нехари. Во-вторых, нелегко получить ограниченность последовательности Пале-Смейла. Кроме того, проверка компактности последовательности Пале-Смейла является сложной задачей, поскольку вложение H^1(\mathbb{R}^N) \hookrightarrow L^2(\mathbb{R}^N) не компактный. В 1997 году Луи Жанжан использовал следующее преобразование:
: (s \star u)(x) := e^{\frac{Ns}{2 u(e^s x).
Таким образом, имеем следующий функционал:
: \tilde{I}(u, s) := I(s \star u) = e^{2s} \int_{\mathbb{R}^N} |\nabla u(x)|^2 dx - \frac{1}{e^{sN \int_{\mathbb{R}^N} F(e^{\frac{Ns}{2 u(x)) dx.
Тогда
(u) := \partial_s \tilde{I}(u, s)|_{s=0} = \int_{\mathbb{R}^N} |\nabla u|^2 - N \int_{\mathbb{R}^N} \left( \frac{1}{2} f(u)u - F(u) \right) что в точности соответствует тождеству уравнения Похожаева. Жанжан использовал это дополнительное условие, чтобы обеспечить ограниченность последовательности Пале-Смейла, преодолев тем самым упомянутые ранее трудности. Будучи первым методом решения проблемы нормализованных решений в неограниченном функционале, подход Жанжана стал распространенным методом решения таких проблем, ему подражали и развивали последующие исследователи.
В последующие десятилетия исследователи расширили эти фундаментальные результаты. Томас Барч и Себастьян де Валериола
В ограниченной области ситуация совсем иная. Давайте определим f(s)=|s|^{p-2}s , где p \in (2, 2^*) . Обратитесь к личности Похожаева,
: \frac{2 - N}{2} \int_{\Omega} |\nabla u|^2 \, dx - \frac{\lambda N}{2} \int_{\Omega} u^2 \, dx + \frac{N}{p} \int_{\Omega} |u|^{p} \, dx - \frac{1}{2} \int_{\partial \Omega} |\frac{\ частичное u}{\partial \nu}|^2 x \cdot \nu \, d\sigma = 0.
Граничный член сделает невозможным применение метода Жанжана. В последние годы это побудило многих ученых изучить проблему нормализованных решений в ограниченных областях. Кроме того, в последние годы был получен ряд интересных результатов о нормализованных решениях в системе Шредингера, уравнении Шокара или уравнении Дирака.
==Некоторые расширенные концепции==
===Масса критическая, масса докритическая, масса сверхкритическая===
Давайте считать нелинейный член однородным, то есть определим f(s)=|s|^{p-2}s где p \in (2, 2^*) . Обратитесь к неравенству Гальярдо-Ниренберга: определите
: \gamma_p := \frac{N(p - 2)}{2p},
тогда существует константа C_{N,p} такая, что для любого u \in H^1(\mathbb{R}^N) выполняется следующее неравенство:
: |u|_p \leq C_{N,p} |\nabla u|^{\gamma_p}_2 |u|^{1-\gamma_p}_2.
Таким образом, существует понятие массового критического показателя,
: p := 2+ \frac{4}{N}.
Отсюда мы можем получить разные представления о докритической и сверхкритической массе. Также полезно узнать, ограничен ли функционал снизу или нет.
===Последовательность Пале-Смейл===
Пусть X — банахово пространство и I: X \to \mathbb{R} — функционал. Последовательность (u_n)_n \subset X называется последовательностью Пале-Смейла для I на уровне c \in \mathbb{R} если он удовлетворяет следующим условиям:
1. Граница энергии: \sup_n I(u_n) < \infty .
2. Условие градиента: \langle I'(u_n), u_n - u \rangle \to 0 as n \to \infty для некоторого u \in X .
Здесь I' обозначает производную Фреше от I , а \langle \cdot, \cdot \rangle обозначает скалярное произведение в Х . Последовательность Пале-Смейл названа в честь Ришара Пале и Стивена Смейла.
==См. также==
*Стоячая волна
*Неравенство Соболева
*Условие компактности Пале–Смейла
* Вариационный принцип
*Фотография Шрёдингера
*Математическая формулировка квантовой механики
*Связь между уравнением Шредингера и формулировкой квантовой механики, основанной на интеграле по траекториям
==Дальнейшее чтение==
* *
Квантовая механика. Уравнения в частных производных. Вариационное исчисление.
Подробнее: https://en.wikipedia.org/wiki/Normalize ... thematics)