Тест Абеля – Эрли – Прингсхайма ⇐ Васина Википедия

[wiki_en]

В математическом анализе «теорема Абеля-Дини-Прингсхайма» представляет собой тест на сходимость, который строит из расходящегося ряда ряд, который расходится медленнее, или аналогичным образом для сходящегося ряда.
== Определения ==
=== Для расходящегося ряда ===
Предположим, что (a_n)_{n=0}^\infty\subset(0,\infty) — это последовательность положительных действительных чисел такая, что ряд
:\sum_{n=0}^\infty a_n=\infty
расходится в бесконечность. Пусть S_n=a_0+a_1+\cdots+a_n обозначает n-ю частичную сумму. '''Теорема Абеля-Дини-Прингсхайма''' для расходящихся рядов утверждает, что выполняются следующие условия.
* \sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{S_n}=\infty
* Для всех \epsilon>0 имеем \sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{S_nS_{n-1}^\epsilon}1, и расходится, если t\le1.
'''Доказательство первой части.''' По предположению S_n не убывает и расходится к бесконечности. Итак, для всех n\in\{0,1,2,\dots\ существует k_n\in\{0,1,2,\dots\ такой, что
:\frac{S_n}{S_{n+k_n\frac12
и, следовательно, a_0/S_0+\cdots+a_n/S_n не является последовательностью Коши. Отсюда следует, что ряд
:\sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{S_n}
расходится.

'''Доказательство второй части.''' Если 0