Функция гребня ⇐ Васина Википедия

[wiki_de]

'''Риджевая функция''' — это многомерная функция f:\R^d\rightarrow\R, которая получается в результате композиции одномерной функции g:\R \rightarrow\R с аффинным отображением|аффинным отображением x^{\top} a + b : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R} возникает:

f(x) = g(x^{\top} a + b), \quad for x\in\R^d.

Здесь g упоминается как «функция профиля», a как «вектор направления» и b как «смещение».

Прямой перевод Gratfunktion или Kammfunktion в немецком языке не прижился.

=== Случаи ===

Ридж-функции играют, среди прочего, важную роль в проекционном преследовании, обобщенных линейных моделях и в качестве функций активации в нейронных сетях. Подробные объяснения ридж-функций см. в книгах Пинкуса и Исмаилова.
== Свойства ==

=== Неоднозначное представление ===

Представление ридж-функции обычно не уникально. Для
\lambda \neq 0, определите функцию профиля \tilde g(t) :=g(t/\lambda), а также вектор направления \tilde a := \lambda a и смещение \tilde b := \lambda b , который возвращает ту же функцию гребня


g(a^\top x+b)
=
g \big( \tfrac{1}{\lambda} (\lambda a)^\top x+\lambda b \big) = \tilde g( { \tilde a}^\top x+ \tilde b) .


Уникальность можно обеспечить путем нормализации a, например a^{\top} a = 1 .

=== Разложение по направлениям и ортогональным пространствам ===

Для a\neq 0 пространство \mathbb R^n можно разложить в направлении a и пространства, ортогонального ему: \mathbb R^n = \operatorname{span}\{a\} \oplus \operatorname{span}\{ \psi_1, ..., \psi_{d-1} \} .

Функция ridge изменяется только в направлении a. Значение остается постоянным во всех направлениях, перпендикулярных a. Таким образом, их наборы уровней представляют собой параллельные гиперплоскости, поэтому для нормализованных a^{\top} a = 1 и x = \alpha \, применяется a + \sum_{j=1}^{d-1} \beta_j \psi_{j}


f(x)=g(a^\top x+b) = g(\alpha +b),


Следовательно, необходимо знать только пропорцию в направлении a.

=== Градиент ===

Если функция профиля g дифференцируема, то и ридж-функция также дифференцируема. По правилу цепочки


\набла f(x)
=
g'(a^\top x+b)\,a .


Таким образом, градиент является скалярным кратным вектора направления a в каждой точке. Поэтому направление наибольшего изменения всегда параллельно a.

=== Гладкость ===

Гладкость функции гребня наследуется от функции профиля.

Если g\in C^k(\mathbb R) соответствует k\in \mathbb N_0\cup\{\infty\, то для f(x)=g(a^\top x+b) также f\in C^k(\mathbb R^n).

Это следует из правила цепочки, поскольку рисунок


x\mapsto a^\top x+b


аффинный и, следовательно, гладкий. Следующее относится, в частности, к частным производным:


\partial^\alpha f(x)
=
g^{(|\alpha|)}(a^\top x+b)\,a^\alpha


для всех мультииндексов \alpha с |\alpha|\leq k.



Категория:Вычислительная математика
Категория:Линейная алгебра

Подробнее: https://de.wikipedia.org/wiki/Ridge-Funktion