Теорема Кросса ⇐ Васина Википедия

[wiki_en]

В математике, особенно в геометрии, «Теорема Креста», также известная как «Теорема Вектена», Равенство (математика)|приравнивает площадь треугольника к площадям треугольников, образованных квадратом|квадратами, нарисованными вдоль его края (геометрия)|сторон.

== Теорема ==
Пусть \triangle ABC — треугольник на евклидовой плоскости (\mathbb{R}^2). Предположим, что квадраты DABE, FBCG и HCAI нарисованы на внешней стороне множества|за пределами \triangle ABC. Тогда площади четырех треугольников \triangle ABC, \triangle AID, \triangle BEF и \triangle CGH равны.
== Доказательства ==

=== Доказательство путем вращения ===
Rotation|Поверните \triangle AID на прямой угол так, чтобы D совпадал с B, и пусть этот новый треугольник будет \triangle AI'B. Ясно, что |AC|=|AI'| и что C, A и I являются коллинеарными|коллинеарными. Следовательно, площади треугольников \triangle ABC и \triangle AI'B равны. Поскольку \triangle AI'B — это просто вращение \triangle AID, из этого следует, что \triangle ABC и \triangle AID имеют одинаковую площадь. Подобные аргументы доказывают равенство всех четырех областей.

=== Доказательство по формуле площади ===
Обратите внимание, что \angle CAB и \angle DAI являются дополнительными углами|дополнительными. Поэтому мы имеем

[DAI]

=\frac12|AD||AI|\sin(\angle DAI)

=\frac12|AB||AC|\sin(\angle CAB)

[ABC],

чего и хотелось. Подобные аргументы показывают, что все четыре области равны.

== История ==
Теорема Кросса была названа в честь Дэвида Кросса, который (независимо) открыл ее в 2004 году. Эта конфигурация также изучалась Вектеном, и, следовательно, теорему также можно назвать теоремой Вектена. Однако теорема Вектена чаще относится к теореме, утверждающей существование точек Вектена|Точек Вектена в треугольнике
== См. также ==

* Вектенские точки – точки, образованные квадратными центрами
* Теорема Пифагора|Теорема Пифагора – Теорема, связывающая длины в прямоугольном треугольнике

Подробнее: https://en.wikipedia.org/wiki/Cross%27s_Theorem