Тест Берка-Джонса ⇐ Васина Википедия

[wiki_en]

Тест Берка-Джонса (или тест BJ) относится к классу непараметрических статистических тестов согласия, используемых для определения того, соответствует ли набор наблюдаемых данных определенному распределению вероятностей. Представленный Робертом Х. Берком и Дугласом Х. Джонсом в 1979 году, тест специально разработан так, чтобы быть более мощным, чем критерий Колмогорова-Смирнова в хвостах распределения.
==Фон==
При проверке статистических гипотез тест согласия сравнивает эмпирическую функцию распределения (EDF) с теоретической кумулятивной функцией распределения (CDF). Хотя критерий Колмогорова-Смирнова, возможно, является самым известным методом, его часто критикуют за недостаточную чувствительность к отклонениям, возникающим на крайних точках (хвостах) распределения.

Тест Берка-Джонса устраняет этот недостаток, принимая «точечный» подход максимального отношения правдоподобия. Она по-прежнему принадлежит к семейству статистик типа супремума, но также включает в себя теоретико-информационные свойства, в частности, расхождение Кульбака-Лейблера.

==Математическая формулировка==
Пусть X_1,X_2,\dots,X_n — независимые и одинаково распределенные (i.i.d.) случайные величины с эмпирической функцией распределения \mathbb{F}_n(x). Мы хотим проверить нулевую гипотезу H_0: F = F_0.

Статистика Берка-Джонса R_n определяется как:
:R_n = \sup_{x} K(\mathbb{F}_n(x), F_0(x))
где K(p,q) — бинарная дивергенция Кульбака-Лейблера (или относительная энтропия), определяемая как:
:K(p,q) = p \log \left(\frac{p}{q}\right) + \left(1-p\right)\log\left(\frac{1-p}{1-q}\right)
Статистику также можно выразить через статистику порядка X_{(1)} < X_{(2)} < \cdots

Подробнее: https://en.wikipedia.org/wiki/Berk-Jones_test