Теорема о смеси ⇐ Васина Википедия

[wiki_en]

Теорема обобщает теорему утилиты фон Неймана-Моргентертерна и обычную Debreu's_representation_theorems#Существует_оф_ординаль_утлити_функция | Теорема утилиты-репрессии для предпочтений потребителей по сравнению с \ MathBB r^n . Впервые это было доказано Израилем Натаном Херстеном и Джоном Милнором в 1953 году,
== Смесь пространств ==

=== Определение ===

Смесь пространств, введенных Херстеном и Милнором, представляют собой обобщение выпуклых наборов из векторных пространств. Формально:

'' 'Определение' '': пространство смеси - это пара (x, h) < /math>, где

* x < /math> - это просто любой набор, и

* H: [0,1] \ Times x \ times x \ to \ mathbb r -это функция смеси: она ассоциируется с каждым \ alpha \ in [0,1] и каждая пара x, y \ in x \ times x \ alpha -mixture из двух, h _ {\ alpha). \ equiv h (\ alpha, x, y) < /math>, так что
# H_1 (x, y) = x < /math>.
# H _ {\ alpha} (x, y) = h_ {1- \ alpha} (y, x) < /math>.
# H _ {\ alpha} (h _ {\ beta} (x, y), y) = h _ {\ alpha \ beta} (x, y) < /math>.

Смесь пространства являются по сути особый случай выпуклых пространств (также называемых барицентрическими алгебрами),
=== Примеры ===

Некоторые примеры и не допросы смешанных пространств:

* Векторные пространства: Любое выпуклое подмножество x векторного пространства (v, +, \ cdot) over \ mathbb r , с h _ {\ alpha} (x, y) = \ alpha x + (1- \ Alpha) y составляет микшн-математику>.

== Теорема пространства смеси ==

=== Axioms ===

Herstein и Milnor предложили следующие аксиомы для предпочтений \ succsim over x , когда (x, h) - пространство смеси:

* '' 'Axiom 2 (независимость):' '' для любого x, y, z \ in x < /math>,

: x \ sim y \ подразумевает H_ {1/2} (x, z) \ sim h_ {1/2} (y, z).
* '' 'Axiom 3 (непрерывность смеси)' '': для любого x, y, z \ in x < /math>, наборы
: \ {\ alpha \ in [0,1]: h _ {\ alpha} (x, y) \ succsim z \}, < /math>
: \ {\ alpha \ in [0,1]: h _ {\ alpha} (x, y) \ precsim z \} < /math>

закрыты в [0,1] < /math> - с обычной топологией.

Аксиома смеси-континентации-это способ ввести некоторую форму непрерывности для предпочтений без необходимости рассмотреть топологическую структуру по сравнению с x .

=== Теорема ===

'' 'Theomorem' '' ': Учитывая любое пространство для смеси (x, h) и отношение предпочтений \ succsim over x , следующие:

* \ succsim < /math> удовлетворяет аксиомам 1, 2 и 3.

* Существует функция утилиты, обеспечивающая смеси, u: x \ to \ mathbb r , которая представляет \ succsim , где «предприятие смеси» означает, что для любого x, y \ in x и любого \ alpha \ in [0,1] ,
и \ alpha \ in [0,1] ,
и \ alpha \ in [0,1] ,
и \ alpha \ in
: u (h _ {\ alpha} (x, y)) = \ alpha u (x) + (1- \ alpha) u (y) < /math>.

== Примечания ==

Утилита
Теоремы экономики
Теория решений

Подробнее: https://en.wikipedia.org/wiki/Mixture-Space_Theorem