Теорема о H-кобордизме ⇐ Васина Википедия

[wiki_de]

«Теорема о h-кобордизмах» является важным результатом математической ветви теории кобордизмов о тривиальности h-кобордизмов. Его далеко идущее значение заключается в его ключевой роли в понимании многообразий более высокой размерности. Ранее математика столкнулась с несколькими трудными проблемами при изучении 3-многообразия|3-многообразий и 4-многообразия|4-многообразий, многие из которых остаются частично нерешенными до сих пор, поэтому считалось, что многомерные многообразия будут быть еще труднее понять. Однако это предположение оказалось ошибочным. Теорема о h-кобордизмах была доказана Стивеном Смейлом в 1962 году и привела к тому, что он был награжден медалью Филдса в 1966 году. Приложение можно найти, например, в группе Кервера-Милнора, определяемой группами h-кобордизмов, которые, согласно теорема h-кобордизма, в высших измерениях именно экзотические сферы классифицировать.

== h-кобордизмы ==
n+1-мерный кобордизм (W,M,N,i,j) состоит из n+1-мерного топологического многообразия | топологическое или кусочно-линейное (PL) или гладкое многообразие W, n-мерное топологическое или кусочно-линейные (PL) или гладкие многообразия M и N, а также вложения (математика)|вложения i\colon M\hookrightarrow W и < math >j\colon N\hookrightarrow W, чтобы:

: \partial W=i(M)\sqcup j(N).

Поэтому вложения часто указываются как i\colon M\hookrightarrow\partial W и j\colon N\hookrightarrow\partial W. Однако приведенное выше соглашение имеет больше смысла из-за следующих дополнительных условий: если вложения i\colon M\hookrightarrow W и j\colon N\hookrightarrow W являются гомотопическими эквивалентность|гомотопическая эквивалентность, будет (W,M,N,i,j) (или просто W для краткости). называется «h-кобордизмом».

== Теорема о h-кобордизме ==
h-кобордизм (W,M,N,i,j) с \dim(W)\geq 6 и односвязным пространством|односвязным замкнутым многообразием|замкнутым Многообразие M (с \dim(M)\geq 5) тривиально. Это означает, что h-кобордизм имеет форму цилиндра (геометрия)|цилиндр, поэтому он имеет сохраняющее ориентацию отображение|сохраняющий ориентацию изоморфизм f\colon W\rightarrow M\times[0,1] с f\circ i=(\operatorname{id},0)\colon M\hookrightarrow M\times[0,1] существует. Соответственно, N=\overline{M}, т.е. с изменением ориентации.Lück 2004, теорема 1.1 Очевидно, что гомотопическая эквивалентность многообразий гомотопна изоморфизму. Изоморфизм — это гомеоморфизм, PL-гомеоморфизм или диффеоморфизм в соответствующей теории категорий|категориях.

Для топологических многообразий теорема о h-кобордизме применима даже к \dim(W)=6 и \dim(M)=5. Однако для гладких многообразий это утверждение неверно. Ч. Т. К. Уолл показал в 1964 году, что односвязные ориентируемые замкнутые 4-многообразия | 4-многообразия с эквивалентными разрезами даже h-кобордантны.
Справедливость теоремы о h-кобордизме до сих пор неизвестна в трех измерениях и, согласно гипотезе Пуанкаре, эквивалентна также открытому вопросу о существовании экзотических сфер в четырех измерениях. В двух измерениях теорема о h-кобордизме также верна из-за правильности гипотезы Пуанкаре, как показал Григорий Перельман в 2002 году. В одном измерении достоверность — это пустая истина, поскольку не существует односвязных 1-многообразий. В нулевых измерениях достоверность тривиальна, поскольку она влияет только на интервал между точками.

== Литература ==

* *

* nlab:h-кобордизм|h-кобордизм и nlab:h-кобордизм+теорема|теорема о h-кобордизме на 𝑛Lab|nLab (английский язык|английский)



Категория:Дифференциальная топология
Категория:Разнообразие

Подробнее: https://de.wikipedia.org/wiki/H-Kobordismus-Satz