Дирак-Струна ⇐ Васина Википедия

[wiki_de]

В электродинамике, разделе физики, «струна Дирака» представляет собой одномерную кривую между магнитным монополем | магнитными монополями (также монополями Дирака) с различными магнитными зарядами или от монополя Дирака до бесконечности, на которой его векторный потенциал расходится. Если это описывается бескоординатной дифференциальной формой, можно установить связь с когомологиями Де Рама. Это делает магнитный монополь (аналогичный эффекту Ааронова-Бома | эффекту Ахаранова-Бома) топологическим эффектом, а струну Дирака обязательным условием для подходящих когомологий де Рама. Струны Дирака были названы в честь Поля Дирака, который впервые описал их в 1931 году. Соответствие по \operatorname{U}(1)-основным расслоениям|основным расслоениям над S^2, которое, в частности, включает (комплексное) волокно Хопфа, было написано Тай Цунь Ву (китайский язык | китайский 吳大峻, пиньинь «Wú Dàjùn») и Чэнь Нин Ян (китайский 杨振宁, пиньинь «Ян Женнин») в 1975 году.

== Строительство ==
Введение в уравнения Максвелла магнитного заряда, а тем самым и магнитного тока, приводит к полной симметрии между электрическим и магнитным полями, поскольку тогда описательные уравнения становятся полностью идентичными. Это означает, что описание электрического точечного заряда, которое часто используется в электродинамике, совершенно аналогичным образом можно перенести и на магнитный точечный заряд. Пусть g\neq 0 — его магнитный заряд, тогда плотность магнитного потока удовлетворяет условию:

: \mathbf{B}
=g\frac{\mathbf{r{r^3}

Закон Гаусса|Закон Гаусса (второе уравнение Максвелла) \nabla\cdot\mathbf{B}=0 в целом \mathbb{R}^3\setminus\{0\}< /math > (но \nabla\cdot\mathbf{B}=4\pi g\delta(\mathbf{r}) с дельта-распределением|дельта-распределением Дирака на \ mathbb{R} ^3). Однако векторного потенциала \mathbf{A} с \mathbf{B}
не существует. =\nabla\times\mathbf{A} ко всему \mathbb{R}^3\setminus\{0\}, что можно доказать с помощью интегральной теоремы Стокса|Стокса Интегральная теорема:< br />
: 4\pi g
=\int_{S_r(0)}\frac{g}{r^2}\mathrm{d}S
=\int_{S_r(0)}\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}
=\int_{S_r(0)}(\nabla\times\mathbf{A})\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}
=\oint_{\partial S_r(0)}\mathbf{A}\cdot\mathrm{d}\mathbf{s}
=0,

где S_r(0) — сфера с радиусом r вокруг начала координат и \mathrm{d}\mathbf{S}
=\frac{\mathbf{r{r}\mathrm{d}S — элемент векторной поверхности. При сферических координатах#преобразовании оператора Наблы|радиальной части вращения в сферических координатах \mathbf{A} будет использоваться для векторного потенциала с подходом \mathbf{A} (\vartheta)
=A_\varphi(\vartheta)\mathbf{e}_\varphi применить:

: (\nabla\times\mathbf{A})_r
=\frac{1}{r\sin\vartheta}\frac{\partial}{\partial\vartheta}(A_\varphi\sin\vartheta)
\;\stackrel{!}{=}\;\mathbf{B}_r
=\frac{g}{r^2}.

В результате получаются два подходящих векторных потенциала:

: \mathbf{A}^\pm(\vartheta)
=A_\varphi^\pm(\vartheta)\mathbf{e}_\varphi
=\frac{g}{r\sin\vartheta}(-\cos\vartheta\pm 1)\mathbf{e}_\varphi.

Они расходятся для \vartheta=0 (т. е. по положительной оси z) и \vartheta=\pi (т. е. по отрицательной оси z), но константа интегрирования|константы интегрирования \pm 1 выбраны точно так, чтобы обеспечить непрерывное продолжение \mathbf{A}^+ для < math>\vartheta=0 и \mathbf{A}^- для \vartheta=\pi через теорему Лопиталя|предельную теорему Лопиталя возможно:

: \mathbf{A}^+(0)
:=\lim_{\vartheta\rightarrow 0}\mathbf{A}^+(\vartheta)
=\frac{g}{r}\mathbf{e}_\varphi\lim_{\vartheta\rightarrow 0}\frac{-\cos(\vartheta)+1}{\sin(\vartheta)}
=\frac{g}{r}\mathbf{e}_\varphi\lim_{\vartheta\rightarrow 0}\frac{\sin(\vartheta)}{\cos(\vartheta)}
=0;
: \mathbf{A}^-(\pi)
:=\lim_{\vartheta\rightarrow\pi}\mathbf{A}^-(\vartheta)
=\frac{g}{r}\mathbf{e}_\varphi\lim_{\vartheta\rightarrow\pi}\frac{-\cos(\vartheta)-1}{\sin(\vartheta)}
=\frac{g}{r}\mathbf{e}_\varphi\lim_{\vartheta\rightarrow\pi}\frac{\sin(\vartheta)}{\cos(\vartheta)}
=0.

Таким образом, \mathbf{A}^+ не находится на отрицательной оси z, а \mathbf{A}^- не находится на положительной оси \mathbf{A}^+. определена ось math>z. Эти одномерные линии соединяют магнитный монополь с бесконечностью и являются струнами Дирака.

== Квантование ==
Уравнение Шрёдингера используется для квантовомеханического описания заряженной частицы в электромагнитном поле. Магнитное поле сюда входит не напрямую, а, скорее, его векторный потенциал, и этот факт фактически можно физически наблюдать в эффекте Ааронова-Бома. В случае точечного магнитного заряда влияние двух разных векторных потенциалов \mathbf{A}^\pm на их соответствующие волновые функции \Psi^\pm может учитываться.

Векторные потенциалы \mathbf{A}^\pm имеют сферические координаты#преобразование оператора Наблы|азимутальную составляющую градиента в сферических координатах:

: \nabla_\varphi
=\frac{1}{r\sin(\vartheta)}\frac{\partial}{\partial\varphi}

связано посредством калибровочного преобразования:

: \mathbf{A}^+(\vartheta)
=\mathbf{A}^-(\vartheta)
+\nabla(2g\varphi).

Волновые функции \Psi^\pm частицы с массой m и электрическим зарядом e являются решениями уравнения Шрёдингера:

: i\hbar\frac{\partial\Psi^\pm}{\partial t}
=\frac{1}{2m}\left(-i\hbar\nabla+e\mathbf{A}^\pm\right)^2\Psi^\pm

и связаны калибровочным преобразованием, предполагая их инвариантность:

: \Psi^+(\mathbf{r})
=\Psi^-(\mathbf{r})e^{-i\frac{2e}{\hbar}g\varphi}.

Поскольку для \varphi=0 и \varphi=2\pi должен получиться одинаковый фазовый угол, квантование (физика)|квантование магнитного заряда следует в целых числах, кратных уменьшенный квант магнитного потока|квант магнитного потока:

: g
=n\frac{\hbar}{2e},
n\in\mathbb{Z}.

== Связь с когомологиями Де Рама ==
Более простое описание с математической точки зрения даёт дифференциальная форма. При этом плотность магнитного потока и векторные потенциалы становятся:

: Б
=\frac{g}{4\pi}\sin(\vartheta)\mathrm{d}\vartheta\wedge\mathrm{d}\varphi;
: A^\pm
=\frac{g}{4\pi}\left(
-\cos(\vartheta)\pm 1
\right)\mathrm{d}\varphi.

Поскольку они не зависят от радиуса r, их можно игнорировать, т. е. S^2\subset\mathbb{R}^3\setminus\{0\ как основное пространство рассматривается, при этом топологические инварианты не изменяются из-за гомотопической эквивалентности (S^2\simeq\mathbb{R}^3\setminus\{0\). Струны Дирака теперь превращаются в точечные отверстия на южном полюсе S=(0,0,-1) и на северном полюсе N=(0,0,1) сфера. \mathrm{d}B=0 применяется к S^2 и B=\mathrm{d}A^- к S ^2\setminus\{N\} и B=\mathrm{d}A^+ на S^2\setminus\{S\ . Кроме того, A^+-A^-=2g\mathrm{d}\varphi с \mathrm{d}(A^+-A^-)=2g\mathrm{d } ^2\varphi=0 можно рассматривать на S^2\setminus\{S,N\}\simeq S^1.

* Поскольку \mathrm{d}(A^+-A^-)=2g\mathrm{d}^2\varphi=0 на S^2\setminus\{S,N \}\simeq S^1 представляет форму 2 A^--A^+=2g\mathrm{d}\varphi и когомологии де Рама класс в H_\mathrm{dR}^1\left(S^1\right)
\cong\mathbb{R}. Из-за [A^--A^+]
=2g[\mathrm{d}\varphi]
=[0] это тривиально.
* Из-за \mathrm{d}B=0 в S^2, форма 2 B представляет собой Класс когомологий де Рама в H_\mathrm{dR}^2\left(S^2\right)
\cong\mathbb{R}, где изоморфизм достигается интегрированием \int_{S^2}\colon
H_\mathrm{dR}^2\left(S^2\right)
\rightarrow\mathbb{Z} задан. *: \int_{S^2}B
=\frac{g}{4\pi}\int_{S^2}\sin(\vartheta)\mathrm{d}\vartheta\wedge\mathrm{d}\varphi
=г.

: С другой стороны, глобальная потенциальная форма A с B=\mathrm{d}A будет из-за =[\mathrm{d }A]=[0] представляют исчезающие когомологии де Рама. Из-за квантования магнитного заряда магнитное поле также можно разделить на классы когомологий в сингулярных когомологиях|сингулярных когомологиях H_\mathrm{sing}^2\left(S^2\right)
\cong\mathbb{Z} может быть представлено.

== Литература ==

* *


Категория:Электродинамика
Категория:Дифференциальная геометрия

Подробнее: https://de.wikipedia.org/wiki/Dirac-String