Дробный вывод Капуто ⇐ Васина Википедия

[wiki_de]

«Дробная производная Капуто» — это обобщение производной для нецелых порядков, названной в честь Микеле Капуто в математике. В 1967 году Капуто впервые определил эту форму дробного исчисления.
== Мотивация ==
Дробный вывод Капуто основан на дробном исчислении # итерационные и дробные интегралы | дробный интергал Римана – Лиувилля. Пусть f непрерывен в \left( 0,\, \infty \right), тогда дробный интеграл Римана–Лиувилля равен {^{\text{RL\operatorname{I из f, заданного

{_{0}^{\text{RL\operatorname{I}_{x}^{\alpha\left[ f\left( x \right) \right] = \frac{ 1}{\Gamma\left( -\alpha \right)} \cdot \int\limits_{0}^{x} \frac{f\left( t \right)}{\left( x - t \right) ^{1 - \alpha \, \operatorname{d}t

где \Gamma\left( \cdot \right) — гамма-функция.

Давайте \operatorname{D}_{x}^{\alpha} := \frac{\operatorname{d}^{\alpha{\operatorname{d}x^{\alpha< / math> определите с помощью правила \operatorname{D}_{x}^{\alpha} \operatorname{D}_{x}^{\beta} = \operatorname{D}_ { x}^{\alpha + \beta и \operatorname{D}_{x}^{\alpha} = {^{\text{RL\operatorname{I } _{x}^{-\alpha в соответствии с применимыми правилами. Если \alpha = m + z \in \mathbb {R} \wedge m \in \mathbb {N}_{0} \wedge 0 < z < 1, то следует \operatorname{D}_{x}^{\alpha} = \operatorname{D}_{x}^{m + z} = \operatorname{D}_{x}^ { z + m} = \operatorname{D}_{x}^{z - 1 + 1 + m} = \operatorname{D}_{x}^{z - 1}\operatorname{D}_{x} ^ {1 + m} = {^{\text{RL\operatorname{I_{x}^{1 - z}\operatorname{D}_{x}^{1 + m. Итак, если f равно C^{m}\left( 0,\, \infty \right), то следует

{\operatorname{D}_{x}^{m + z\left[ f\left( x \right) \right] = \frac{1}{\Gamma\left( 1 - z \right)} \cdot \int\limits_{0}^{x} \frac{f^{\left( 1 + m \right)}\left( t \right)}{\left( x - t \right)^{z \, \operatorname{d}t.

Это известно как дробная производная Капуто, с часто используемым обозначением { ^{\text{C\operatorname{D_{x}^{\alpha}.

== Определение ==
Первое определение дробной производной Капуто было дано Капуто следующим образом:

{^{\text{C\operatorname{D}_{x}^{m + z\left[ f\left( x \right) \right] = \frac{1}{ \Gamma\left( 1 - z \right)} \cdot \int\limits_{0}^{x} \frac{f^{\left( m + 1 \right)}\left( t \right)}{ \left( x - t \right)^{z \, \operatorname{d}t

с f C^{m}\left( 0,\, \infty \right) и m \in \mathbb{N} _{0} \wedge 0 < z < 1.
Другое популярное эквивалентное определение дается следующим образом:

{^{\text{C\operatorname{D}_{x}^{\alpha\left[ f\left( x \right) \right] = \frac{1}{\ Gamma\left( \left\lceil \alpha \right\rceil - \alpha \right)} \cdot \int\limits_{0}^{x} \frac{f^{\left( \left\lceil \alpha \ right\rceil \right)}\left( t \right)}{\left( x - t \right)^{\alpha + 1 - \left\lceil \alpha \right\rceil\, \operatorname{d}t

где \alpha \in \mathbb{R}_{> 0} \setminus \mathbb{N} и \left\lceil \cdot \ right\rceil — это функция округления и функция округления|функция округления. Это можно сделать из предыдущей формулы путем замены \alpha := m + z и того факта, что \left\lceil \alpha \right\ rceil = m + 1 применяется, и, таким образом, следует \left\lceil \alpha \right\rceil + z = \alpha + 1 .
Другое популярное эквивалентное определение дается следующим образом:

{^{\text{C\operatorname{D}_{x}^{\alpha\left[ f\left( x \right) \right] = \frac{1}{\ Гамма\left( n - \alpha \right)} \cdot \int\limits_{0}^{x} \frac{f^{\left( n \right)}\left( t \right)}{\left ( x - t \right)^{\alpha + 1 - n\, \operatorname{d}t

с n - 1 < \alpha < n \in \mathbb{N}. .

Проблема с этими определениями заключается в том, что они допускают аргументы только в \left( 0,\, \infty \right). Это можно исправить, заменив нижний предел интеграла на a: {_{a}^{\text{C\operatorname{ D }_{x}^{\alpha\left[ f\left( x \right) \right] = \frac{1}{\Gamma\left( \left\lceil \alpha \right\rceil - \alpha \ right )} \cdot \int\limits_{a}^{x} \frac{f^{\left( \left\lceil \alpha \right\rceil \right)}\left( t \right)}{\left ( x - t \right)^{\alpha + 1 - \left\lceil \alpha \right\rceil\, \operatorname{d}t. Новый домен — \left( a,\, \infty \right).
== Свойства и предложения ==

=== Важные свойства и предложения ===
Некоторые важные свойства:
==== Антикоммутативность ====
Правило индексирования некоммутативно:

\operatorname{_{a}^{\text{CD}_{x}^{\alpha}\operatorname{_{a}^{\text{CD}_{x}^ {\beta} = \operatorname{_{a}^{\text{CD}_{x}^{\alpha + \beta} \ne \operatorname{_{a}^{\text{CD}_{x }^{\beta}\operatorname{_{a}^{\text{CD}_{x}^{\alpha}

с \alpha \in \mathbb {R}_{> 0} \setminus \mathbb {N} \wedge \beta \in \mathbb {N}.

==== Правило дробного произведения ====
Правило произведения для дробной производной Капуто имеет вид:

\operatorname{_{a}^{\text{CD}_{x}^{\alpha}\left[ g\left( x \right) \cdot h\left( x \ right) \right] = \sum\limits_{k = 0}^{\infty}\left[ \binom{a}{k} \cdot g^{\left( k \right)}\left( x \right ) \cdot \operatorname{_{a}^{\text{RLD}_{x}^{\alpha - k}\left[ h\left( x \right) \right] \right] - \frac{\ left( x - a \right)^{-\alpha{\Gamma\left( 1 - \alpha \right)} \cdot g\left( a \right) \cdot h\left( a \right)

Подробнее: https://de.wikipedia.org/wiki/Fraktiona ... -Ableitung