Гамильтоново векторное поле ⇐ Васина Википедия

[wiki_de]

'''Гамильтоново векторное поле''' — это в математике|математическом подполе симплектической геометрии|симплектической геометрии (в свою очередь, подполе дифференциальной геометрии) специальное векторное поле#векторные поля на многообразиях|гладкое векторное поле на симплектическое многообразие|симплектическое многообразие, с симплектической формой которого|симплектическая форма совместимо и порождается гладким отображением (называемым функцией Гамильтона) на нем.

== Определение ==
Для симплектического многообразия (M,\omega) — векторное поле#векторные поля на многообразиях|гладкое векторное поле X\in \mathfrak{X}(M), для существует гладкая фигура H\in C^\infty(M) с i_X\omega=\omega(X,-)=\mathrm dH, гамильтоново векторное поле .Брылински 2007, 2.3.2. Определение

Из-за невырожденности симплектической формы \omega для гладких векторных полей X,Y\in \mathfrak{X}(M) следует за \ omega(X,-) =\omega(Y,-), что даже X=Y. Таким образом, для функции Гамильтона H\in C^\infty(M) существует не более одного ассоциированного векторного поля Гамильтона X\in \mathfrak{X}(M), который, если он существует, поэтому также обозначается как X_H. Фактически, существование является данностью, что можно показать с помощью явного выражения: Для каждой точки x\in M существует линейная карта \varphi_x\colon T_xM\rightarrow T_x^*M ,\xi \mapsto\omega_x(\xi,-). Из-за невырожденной природы симплектической формы \omega_x эта инъективная функция является инъективной, из-за одинаковой размерности (математических) измерений касательного пространства, касательного и котасательного пространства, это даже биективная функция и из-за плавной зависимости симплектической формы \omega_x от базовой точки x все это вместе приводит к гомоморфизму векторного расслоения | изоморфизму векторного расслоения \varphi\ двоеточие TM\rightarrow T^*M,(x,\xi)\mapsto (x,\omega_x(\xi,-)). Поэтому векторное поле Гамильтона X_H\in \mathfrak{X}(M) функции Гамильтона H\in C^\infty(M) можно представить как:< бр />
: X_H=\varphi^{-1}\circ\mathrm dH\colon M\rightarrow TM.

== Свойства ==

* Гамильтоновы векторные поля являются симплектическим векторным полем|симплектическим. Для функции Гамильтона H\in C^\infty(M) следует формула Картана и замыкание < math>\mathrm d\omega=0 симплектической формы \omega:
*: \mathcal{L}_{X_H}\omega
=(\mathrm{d}i_{X_H}+i_{X_H}\mathrm d)\omega
=\mathrm{d}i_{X_H}\omega=\mathrm{d}^2H=0.
* Линейные комбинации гамильтоновых векторных полей являются гамильтоновыми векторными полями. Для скаляров a,b\in \mathbb {R} и гладких функций G,H\in C^\infty(M) применяется с линейностью дифференциала Картана < math>\mathrm{d} и билинейность симплектической формы \omega:
*: \omega(X_{aG+bH},-)
=\mathrm{d}(aG+bH)
=a\mathrm{d}G+b\mathrm{d}H
=a\omega(X_G,-)
+b\omega(X_H,-)
=\omega(aX_G+bX_H,-),

: из которого следует X_{aG+bH}=aX_G+bX_H ввиду невырожденности симплектической формы \omega.

* Для гладких функций G,H\in C^\infty(M) применяется с правилом произведения дифференциала Картана:
*: \omega(X_{GH},-)
=\mathrm d(GH)
=H\mathrm dG
+G\mathrm dH
+G\omega(X_H,-)
=H\omega(X_G,-)
=\omega(HX_G+GX_H,-),

: из которого следует X_{GH}=HX_G+GX_H вследствие невырожденности симплектической формы \omega.

* Для симплектоморфизма \phi\in\operatorname{Symp}(M) и гладкой функции H\in C^\infty(M) применяется следующее:McDuff & Salamon 1998, Предложение 3.6 (iii)
*: X_{H\circ\phi}
=\phi^*X_H.
* Скобки Ли гамильтоновых векторных полей являются гамильтоновыми векторными полями. Для гладких функций G,H\in C^\infty (M) применимо следующее:McDuff & Salamon 1998, Proposition 3.6 (iii)
*: [X_G,X_H]
=X_{\{G,H\.

== Алгебра Ли гамильтоновых векторных полей ==
Согласно леммам, гамильтоновы векторные поля на симплектическом многообразии (M,\omega) образуют векторное пространство, а со скобкой Ли [-,-] даже лиева алгебра, обозначенная как \mathfrak{Ham}(M,\omega). Существуют гомоморфизмы алгебры Ли:McDuff & Salamon 1998, стр. 87

: \mathfrak{Ham}(M,\omega)\hookrightarrow\mathfrak{Symp}(M,\omega),X\mapsto X
: C^\infty(M)\twoheadrightarrow\mathfrak{Ham}(M,\omega),H\mapsto X_H

== Связь с когомологиями Де Рама ==

=== Связь с нулевыми когомологиями де Рама ===
Специальным субвекторным пространством векторного пространства C^\infty(M) функций Гамильтона являются нулевые когомологии де Рама|когомологии Де Рама H_\mathrm{dR}^0(M) :=\ker(\mathrm{d}\colon C^\infty(M)\rightarrow\Omega^1(M)) локально постоянной функции|локально констант (в любом связном пространстве#связный компонент| константы связных компонент ) функции Гамильтона. Поскольку в определении векторного поля Гамильтона функции Гамильтона фигурирует только его дифференциал Картана, к нему можно при желании добавлять локально постоянные функции Гамильтона, не влияя на генерируемое векторное поле Гамильтона. Поэтому существует точная последовательность:Брылински 2007, 2.3.8 Замечание

: H_\mathrm{dR}^0(M)\hookrightarrow C^\infty(M,\omega)\rightarrow \mathfrak{Ham}(M,\omega).

Отсюда непосредственно следует, что каждое гамильтоново векторное поле порождается единственной функцией Гамильтона тогда и только тогда, когда нулевые когомологии Де Рама симплектического многообразия тривиальны.

=== Связь с первыми когомологиями де Рама ===
По определению, для симплектического векторного поля X форма 1 i_X\omega замкнута и, следовательно, создает элемент [i_X\ omega] \in H_\mathrm{dR}^1(M) первых когомологий Де Рама|Когомологий Де Рама. Ввиду билинейности симплектической формы \omega это присвоение является линейным отображением:

: \mathfrak{Symp}(M,\omega)\rightarrow H_\mathrm{dR}^1(M),X\mapsto i_X\omega.

[i_X\omega]\in H_\mathrm{dR}^1(M) является нейтральным элементом тогда и только тогда, когда он является точным 1- Форма отличается, т.е. когда X — гамильтоново векторное поле. Поэтому существует точная последовательность:Брылински 2007, 2.3.3 Предложение

: \mathfrak{Ham}(M,\omega)\hookrightarrow\mathfrak{Symp}(M,\omega)\rightarrow H_\mathrm{dR}^1(M).

Отсюда непосредственно следует, что всякое симплектическое векторное поле является четным гамильтоновым векторным полем тогда и только тогда, когда первые когомологии Де Рама симплектического многообразия тривиальны.

== Применение в физике ==
Гамильтоновы векторные поля имеют решающее значение для формулировки гамильтоновой механики, поскольку их потоки векторного поля бегут вдоль постоянных значений базовой функции Гамильтона. Это описывает закон сохранения энергии механического движения в фазовом пространстве. Для точки x\in M функция Гамильтона H\in C^\infty(M) является ее (локальным) потоком \phi_H(x, - )\colon I\rightarrow M с открытым интервалом I\subseteq\mathbb R с 0\in I решение дифференциального уравнения с условием начального значения :

: \left\{\begin{align}
\phi_H(x,0)&=x \\
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\phi_H(x,t)&=X_H(\phi_H(x,t))
\end{align}\right..

Из определения гамильтонова векторного поля и антисимметрии симплектической формы следует:

: \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}H(\phi_H(x,t))
=\mathrm dH(\phi_H(x,t))\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\phi_H(x,t)\right)
=\omega(X_H(\phi_H(x,t)),-)\left(X_H(\phi_H(x,t))\right)
=\omega(X_H,X_H)(\phi_H(x,t))
=0,

при этом H(\phi_H(x,t))
постоянно. В более общем смысле это вычисление можно рассматривать для двух разных функций Гамильтона G,H\in C^\infty(M), где скобка Пуассона \{G,H\}= \omega (X_G,X_H) аналогично приводит к:

: \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}G(\phi_H(x,t))
=\omega(X_G,X_H)(\phi_H(x,t))
=\{G,H\}(\phi_H(x,t)),

итак G(\phi_H(x,t))
является константой тогда и только тогда, когда \{G,H\}=0. Это уравнение Лиувилля для эволюции во времени и теорема Нётер о соответствии сохраняющихся величин и симметрии.

== Веб-ссылки ==

* nlab:Гамильтониан+вектор+поле|Гамильтоново векторное поле в nLab (английский язык|английский)

== Литература ==

* *
== Индивидуальные доказательства ==


Категория:Симплектическая топология

Подробнее: https://de.wikipedia.org/wiki/Hamiltonsches_Vektorfeld