Мобильная версияСтержень (на рисунке синий) с центром тяжести S лежит на двух вращающихся в противоположных направлениях роликах (серо-черный), которые оказывают на стержень противоположные силы трения в точках контакта. Если центр тяжести находится точно посередине между точками контакта, как на рисунке, и стержень покоится, силы трения нейтрализуются, и стержень остается в покое.
Если центр тяжести покоится, но не посередине между точками контакта, то ролик, который находится ближе к центру тяжести, например ролик А, имеет больший вес, чем другой ролик В. Сила трения увеличивается с ростом контактную силу, так что стержень ускоряется по направлению к ролику B. Благодаря своей устойчивости центр тяжести штанги не остановится посередине между роликами, а выйдет за ее пределы. Теперь на другой ролик B приходится больше веса, и стержень ускорится в противоположном направлении, в конечном итоге остановится и снова начнет двигаться к ролику A, так что процесс повторяется. Более детальный анализ показывает, что фрикционный осциллятор является гармоническим осциллятором.
== Аналитическое описание ==
Пусть масса стержня равна «m», а его вес «G=mg» с ускорением свободного падения «g». Трение имеет коэффициент трения скольжения ''μ'', так что между силой трения RA и контактной силой NA существует связь RA. на ролике A при наличии проскальзывания применяется sub>=μNA и соответственно для роли B.
=== Фокус на контактной поверхности ===
Центр тяжести стержня изначально лежит на контактной поверхности, как на рисунке, и находится в точке «x». Тогда момент равновесия в точках контакта роликов А и Б обеспечивает:
:\begin{align}
\sum M_A=&0=2bN_B-(b+x)мг\quad\rightarrow\quad N_B=\frac{b+x}{2b}мг
\\
\sum M_B=&0=-2bN_A+(b-x)мг\quad\rightarrow\quad N_A=\frac{b-x}{2b}мг
\end{align}
Второй закон Ньютона|Второй закон Ньютона «Сила равна массе, умноженной на ускорение», F=m·a, записанная здесь в направлении x, дает вторую производную по времени \ddot x:
:m\ddot x=R_A-R_B=\mu N_A-\mu N_B=\mu\frac{b-x}{2b}мг-\mu\frac{b+x}{2b}мг
что приводит к уравнению вибрации
:\ddot x+\frac{\mu g}b x=\ddot x+\omega_0^2 x=0
Результаты. Где \omega_0=\sqrt{\tfrac{\mu g}b} — собственная угловая частота системы. Этому линейному обыкновенному дифференциальному уравнению удовлетворяют синус и косинус, функции второй производной которого представляют собой ту же функцию, но с противоположным знаком, например \tfrac{\rm d^2}{\rm dx^2}\sin (х)=- \sin(x). Цепное правило показывает, что уравнение вибрации x=\sin(\omega_0t) удовлетворяется, поэтому общее решение
=C_1\sin(\omega_0 t)+C_2\cos(\omega_0 t)\quad\rightarrow\quad
\dot x=C_1\omega_0\cos(\omega_0 t)-C_2\omega_0\sin(\omega_0 t)
здесь амплитуды ''C''1,2 служат для адаптации к начальным условиям. С помощью теорем сложения (тригонометрии) | теорем сложения это также можно представить как чистую синусоидальную волну:
(t)=C\sin(\omega_0 t+\varphi_0)\quad\rightarrow\quad
\dot x(t)=C\omega_0\cos(\omega_0 t+\varphi_0)
где C и нулевой фазовый угол ''φ''0 должны быть адаптированы к начальным условиям.
Если стержень имеет прогиб x0 и скорость v0 в момент времени ''t''=0, константы рассчитываются как
:C_1=\frac{v_0}{\omega_0},\;C_2=x_0,\;
C=\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{\omega_0^2,\;
\varphi_0=\arctan\frac{x_0\omega_0}{v_0}
и функция движения
(t)=\frac{v_0}{\omega_0}\sin(\omega_0 t)+x_0\cos(\omega_0 t)=\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{\omega_0^2
\sin\left(\omega_0 t+\arctan\frac{x_0\omega_0}{v_0}\right)
Уравнение движения применимо только к трению скольжения. Чтобы всегда возникало проскальзывание, а не статическое трение, скорость стержня никогда не должна достигать окружной скорости роликов Ωr:
:\omega_0\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{\omega_0^2
Подробнее: https://de.wikipedia.org/wiki/Reibschwinger