Тензор Фрадкина ⇐ Васина Википедия

[wiki_en]

Тензор Фрадкина, или Тензор Яуха-Хилла-Фрадкина, названный в честь Йозефа-Марии Яуха, Эдварда Ли Хилла и Дэвида М. Фрадкина, представляет собой закон сохранения, используемый в трактовка изотропного многомерного гармонического осциллятора в классической механике. Для рассмотрения квантового гармонического осциллятора в квантовой механике он заменяется тензорным «оператором Фрадкина».

Тензор Фрадкина обеспечивает достаточно сохраняющихся величин, чтобы сделать уравнения движения осциллятора максимально суперинтегрируемыми гамильтоновой системой|суперинтегрируемыми. Это означает, что для определения траектории системы не нужно решать никакие дифференциальные уравнения, а только алгебраические.

Подобно вектору Лапласа–Рунге–Ленца в задаче Кеплера для тензора Фрадкина возникает из-за скрытой симметрии (физики)|симметрии гармонического осциллятора.

== Определение ==
Предположим, что функция Гамильтона|Гамильтониан гармонического осциллятора имеет вид

: H = \frac{\vec p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 \vec x^2

с

* импульс \vec p,
* масса m,
* угловая частота \omega и
* Смещение (физика)|смещение \vec x,

тогда тензор Фрадкина (с точностью до произвольной нормировки) определяется как:

: F_{ij} = \frac{p_i p_j}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 x_i x_j

В частности, H задается функцией Trace (линейная алгебра)|trace: H = \operatorname{Tr}(F). Тензор Фрадкина, таким образом, является симметричной матрицей, и для n-мерного гармонического осциллятора имеет \tfrac{n(n+1)}{2} - 1 независимых элементов. , например 5 в 3-х измерениях.

== Характеристики ==

* Тензор Фрадкина ортогонален угловому моменту \vec L = \vec x \times \vec p:
*: F_{ij} L_j = 0
* сжатие тензора Фрадкина с вектором смещения дает соотношение
*: x_i F_{ij} x_j = E\vec x^2 - \frac{\vec L^2}{2m.
* 5 независимых компонентов тензора Фрадкина и 3 компонента углового момента дают 8 генераторов SU(3), трехмерной специальной унитарной группы в трех измерениях, с соотношениями
*: \begin{align} \{L_i, L_j\} &= \varepsilon_{ijk} L_k \\
\{L_i, F_{jk}\} &= \varepsilon_{ijn} F_{nk} + \varepsilon_{ikn} F_{jn} \\
\{F_{ij},F_{kl}\} &= \frac{\omega^2}{4} \left(\delta_{ik} \varepsilon_{jln} + \delta_{il}\varepsilon_{jkn} + \delta_{jk} \varepsilon_{iln} + \delta_{jl} \varepsilon_{ikn}\right) L_n\,,\end{align

: где \{\cdot,\cdot\ — скобка Пуассона, \delta — дельта Кронекера, а \varepsilon — это скобка Леви -Символ Чивита.

== Доказательство сохранения ==
В гамильтоновой механике эволюция во времени любой функции A, определенной в фазовом пространстве, определяется выражением

: \frac{\mathrm dA}{\mathrm dt} = \{A,H\} = \sum_k \left(\frac{\partial A}{\partial x_k} \frac{\partial H}{ \partial p_k} - \frac{\partial A}{\partial p_k} \frac{\partial H}{\partial x_k}\right) + \frac{\partial A}{\partial t,

так и для тензора Фрадкина гармонического осциллятора,

: \frac{\mathrm dF_{ij{\mathrm dt} = \frac{1}{2} \omega^2 \sum_k \Big((x_j \delta_{ik} + x_i \delta_{jk}) p_k - (p_j \delta_{ik} + p_i \delta_{jk}) x_k \Big) = 0 ..

Тензор Фрадкина — это сохраняющаяся величина, связанная с преобразованием

: x_i \to x_i' = x_i + \frac 12 \omega^{-1} \varepsilon_{jk} \left(\dot x_j \delta_{ik} + \dot x_k \delta_{ij}\right)

по теореме Нётер.

== Квантовая механика ==
В квантовой механике положение и импульс заменяются оператором положения | оператором положения и моментом | операторами импульса, а скобки Пуассона - коммутатором. Таким образом, гамильтониан становится оператором Гамильтона, угловой момент - оператором углового момента, а тензор Фрадкина - оператором Фрадкина. Все вышеперечисленные свойства продолжают сохраняться после этих замен.

Квантовая механика
Классическая механика

Подробнее: https://en.wikipedia.org/wiki/Fradkin_tensor