Метрическая проекция ⇐ Васина Википедия

[wiki_en]

В математике «метрическая проекция» — это функция, которая отображает каждый элемент метрического пространства в набор точек, ближайших к этому элементу, в некотором фиксированном подпространстве.
== Формальное определение ==
Формально, пусть «X» — метрическое пространство с метрикой расстояния «d», и пусть «M» — фиксированное подмножество «X». Тогда метрическая проекция, связанная с ''M'', обозначаемая ''pM'', представляет собой следующую многозначную функцию от ''X'' до ''M'': p_M(x) = \arg\min_{y\in M} d(x,y)Эквивалентно: p_M(x) = \{y \in M : d(x,y) \leq d(x,y') \forall y'\in M \}
= \{y \in M : d(x,y) = d(x,M) \Элементы множества \arg\min_{y\in M} d (x,y) также называются «элементами наилучшего приближения». Этот термин происходит от «Ограниченная оптимизация | ограниченная оптимизация»: мы хотим найти элемент ближе к «x», при условии, что решение должно быть подмножеством «M». Функцию ''pM'' также называют '''оператором наилучшего приближения'''.

== Наборы Чебышева ==
В общем, ''pM'' имеет множество значений, так как для каждого ''x'' может быть много элементов в ''M'', которые имеют одинаковое ближайшее расстояние к '' Икс''. В особом случае, когда ''pM'' является однозначным, набор ''M'' называется '''множеством Чебышева'''. Например, если (''X'',''d'') является евклидовым пространством (Rn с евклидовым расстоянием), то набор ''M'' является чебышевским множеством. тогда и только тогда, когда это Closed set|closed и Convex set|выпуклый.
== Непрерывность ==
Если ''M'' непустой компакт, то метрическая проекция ''pM'' полунепрерывна сверху, но может не быть полунепрерывной снизу. Но если «X» — нормированное пространство, а «M» — конечномерное чебышёвское множество, то «pM» непрерывно.

Более того, если X - гильбертово пространство, а M замкнуто и выпукло, то ''pM'' липшицево непрерывно с константой Липшица 1.

== Приложения ==
Метрические проекции используются как для исследования теоретических вопросов функционального анализа, так и для практических методов аппроксимации.
метрические пространства
теория приближений

Подробнее: https://en.wikipedia.org/wiki/Metric_projection