Черные ботинки ⇐ Васина Википедия

[wiki_de]

«Шварцше-сапог» или «Шварцше-фонарь» относится к аппроксимации цилиндра (геометрии)|цилиндра областью, ограниченной многоугольниками. В математике это трактуется как патологический пример того, что предел (последовательность)|предел аппроксимирующих многогранников не всегда подходит для вычисления площади гладких поверхностей.

== Имя и первооткрыватель ==
Он назван в честь Германа Амандуса Шварца | Германа Шварца, который сформулировал конструкцию. Название ботинок или фонарь произошло от того, что конструкция выглядит как складка ботинка или как фонарь. Независимо от Шварца, Джузеппе Пеано также обнаружил эту конструкцию в 1882 году. История точных наук», Том 63, № 6, 2009 г., стр. 665–704.

== Фон ==
Еще в древности люди пытались вычислять криволинейные площади и длины с помощью приближенных построений. Архимед известен своим алгоритмом Архимеда, названным в его честь, который дал приблизительный расчет числа круга. Аппроксимация поверхностей с помощью прямоугольников или более простых многоугольников была основной идеей интегрального исчисления или методов численного расчета, таких как правило бочки Кеплера. Расчет площади цилиндра сейчас производится с использованием поверхностного интеграла, но исторически были попытки определить объемы подмногообразий ℝn|подмногообразий \R^n как предел более простых интегралы. Например, в двумерном случае длину пути (математика)|path \gamma: [0,1] \to \R^n можно аппроксимировать следующим образом: Для этого , интервал разбивается на n точек со свойством

: 0 = x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_n = 1.

Тогда грубое приближение будет выглядеть следующим образом:

: \Vert \gamma(x_1) - \gamma(x_0) \Vert + \Vert \gamma(x_2) - \gamma(x_1) \Vert + \dots + \Vert \gamma(x_n) - \gamma( x_{n-1}) \Vert.

Для больших значений n , очевидно, потребуется создать лучшее приближение. Таким образом, вы можете попытаться определить длину кривой как предел таких многоугольников (математика)|многоугольников, но это, как правило, не работает, потому что вы можете придумать очень неинтуитивные способы, чтобы приведенный выше термин больше не сходился или не зависел от Выбор разложения приводит к различным предельным значениям.Ганс фон Мангольдт, Конрад Кнопп: «Введение в высшую математику». 13-е издание. С. Хирзель Верлаг, стр. 227.

Ботинок Шварца демонстрирует, что содержимое поверхности не может быть определено последовательностью многогранников, как иногда утверждалось в некоторых учебниках 19-го века.например: Джозеф Альфред Серрет | Дж. А. Серре: «Кур расчета различий и интегралов», Том 2, Готье-Виллар. стр. 296 Потому что в зависимости от выбора последовательности и здесь могут получиться разные результаты. Этот пример актуален и сегодня, поскольку показывает, что при использовании, например, метода конечных элементов нужно внимательно следить за условиями, при которых предельное значение триангуляции (площади)|триангуляции сходится значимым образом.

== Строительство ==

Дан цилиндр высотой l и радиусом r . В этом расчете нас интересует не вся площадь поверхности, а только боковая поверхность. Для построения ботинка Шварца учитываются два натуральных числа m и n .Построение основано на: Фриде Замес: «Площадь поверхности и площадь цилиндра». Парадокс», в: «Двухлетний математический журнал колледжа», том 8, № 4, 1977, стр. 207–11.

* Цилиндр следует разбить на m отдельных колец. Поэтому каждое отдельное частичное кольцо должно иметь высоту l/m .
* Отдельные кольца касаются друг друга краями. В каждом из этих ребер n точек должно быть размещено на расстоянии 2 \pi r /n . Поскольку длина окружности равна 2 \pi r, это означает, что они равномерно распределены по всему краю. В каждом следующем более высоком кольце точки поворачиваются на \pi/n так, что в следующем более высоком кольце точка находится между двумя точками в следующем более низком кольце. Для m = 1 это просто соответствует антипризме.

Это создает многогранник для каждого n и m . В каждом из этих колец 2n равнобедренных треугольников|равнобедренных треугольников, поэтому всего существует 2mn треугольников. Согласно тригонометрическим соображениям, основание каждого треугольника имеет длину

: 2r \sin\left(\frac{\pi}{n}\right).

Используя теорему Пифагора, вы можете определить высоту h для каждого треугольника:

:h^2 = \left(\frac{l}{m}\right)^2 + \left(r \cdot (1-\cos\left(\frac{\pi}{n}\right )\справа)^2

В итоге внешняя поверхность многогранника равна:

: A(m,n) = 2mnr \sin\left( \frac{\pi}{n}\right) \sqrt{\left(\frac{l}{m}\right)^2 + \ left(r \cdot (1-\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)\right)^2}.

Из-за
: \lim_{n \to \infty} \sin\left( \frac{\pi}{n}\right) = \pi и \lim_{n \to \infty} \left(r \cdot (1-\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)\right)^2 = 0

— это предел для фиксированного м

: \lim_{n \to \infty} A(m,n) = 2 \pi r \frac{l}{m},

соответствует площади частичных колец и сходится за м \to \infty к боковой поверхности цилиндра.

Но если вместо этого мы сначала рассмотрим m \to \infty ,
применяется
: \lim _{m \to \infty} A(m,n) = \lim _{m \to \infty} 2mnr \sin\left( \frac{\pi}{n}\right) \ sqrt{ \left(\frac{l}{m}\right)^2 + \left(r \cdot (1-\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)\right)^2 } = 2nr \sin\left( \frac{\pi}{n}\right) \lim_{m \to \infty} \sqrt{h^2 + (mr)^2 \cdot \left(1-\cos \left (\frac{\pi}{n}\right)^2\right)} = \infty.

Предельные значения не взаимозаменяемы, поэтому \lim _{m \to \infty} \lim _{n \to \infty} A(m,n) \neq \lim _{n \to \infty} } \lim _{m \ to \infty} A(m,n), хотя очевидно, что оба должны аппроксимировать боковую поверхность.

== Примечания ==


Категория:Область (Математика)
Категория:Анализ

Подробнее: https://de.wikipedia.org/wiki/Schwarzscher_Stiefel