Проблема Пруэ-Тэрри-Эскотта ⇐ Васина Википедия

[wiki_de]

В математике «задача Пруэ–Тэрри–Эскотта» требует двух непересекающихся мультимножеств A и B, каждое из которых содержит n целых чисел, первое из которых — k все симметричные полиномы суммы степеней равны. Другими словами, два мультимножества должны удовлетворять следующим уравнениям:
: \sum _{a\in A} a^i = \sum _{b\in B} b^i для всех целых чисел i \in \mathbb Z между 1 и заданный k
Можно показать, что k1738 ) \quad для k \in \{ 1, 2, 3 \}

* Идеальное (и относительно T=9 даже симметричное) решение для n=5 — это два набора A = \{ 9+(-9 ), 9+(-5), 9+(-1), 9+7, 9+8 \ и B = \{ 9-(-9), 9-(-5) , 9 -(-1), 9-7, 9-8 \ известно:
:: A = \{ 0, 4, 8, 16, 17 \ и B = \{ 1, 2, 10, 14, 18 \. Итак, применимо следующее:
::: 0^k + 4^k + 8^k + 16^k + 17^k = 1^k + 2^k + 10^k + 14^k + 18^k \quad (= 45) , 625, 9585 или 153409 ) \quad для k \in \{ 1, 2, 3, 4 \

* :: (-151)^k + (-140)^k + (-127)^k + (-86)^k + (-61)^k + (-22)^k + 22^k + 61^k + 86^k + 127^k + 140^k + 151^k = (-148)^k + (-146)^k + (-121)^k + (-94)^k + ( -47)^k + (-35)^k + 35^k + 47^k + 94^k + 121^k + 146^k + 148^k
::: for k \in \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 \
: Это решение было обнаружено Нуутти Куосой, Жаном-Шарлем Мейриньяком и Ченом Шувэнем в 1999 году.

* Ниже приведены несколько известных идеальных решений для 2 \leq n \leq 10 и n=12. которые симметричны относительно T = 0:


Идеальные решения для 2 \leq n \leq 10 и n=12, которые связаны с T = 0 симметричны

:* Для n=2 известно, среди прочего, следующее идеальное симметричное решение:
:::* A = \{ \pm 2 \} и B = \{ \pm 1 \}. Итак, применимо следующее:
::::: (-2)^k + 2^k = (-1)^k + 1^k \quad (= 0 ) \quad for k \in \{ 1 \}
:* Для n=3 известно, среди прочего, следующее идеальное симметричное решение:
:::* A = \{ -2, -1, 3 \} и B = \{ 2, 1, -3 \. Итак, применимо следующее:
::::: (-2)^k + (-1)^k + 3^k = 2^k + 1^k + (-3)^k \quad (= 0, 14 ) \quad для k \in \{ 1, 2 \}
:* Для n=4 известно, среди прочего, следующее идеальное симметричное решение:
:::* A = \{ \pm 3, \pm 11 \ и B = \{ \pm 7, \pm 9 \. Итак, применимо следующее:
::::: (-11)^k + (-3)^k + 3^k + 11^k = (-9)^k + (-7)^k + 7^k + 9^ k \quad (= 0, 260, 0 ) \quad for k \in \{ 1, 2, 3 \
:* Для n=5 известно, среди прочего, следующее идеальное симметричное решение:
:::* A = \{ -8, -7, 1, 5, 9 \ и B = \{ 8, 7, -1, -5, -9 \} . Итак, применимо следующее:
::::: (-8)^k + (-7)^k + 1^k +5^k + 9^k = 8^k + 7^k + (-1)^k + ( -5)^k + (-9)^k \quad (= 0, 220, 0, 13684 ) \quad for k \in \{ 1, 2, 3, 4 \
:* Для n=6 известно, среди прочего, следующее идеальное симметричное решение:
:::* A = \{ \pm 4, \pm 9, \pm 13 \ и B = \{ \pm 1, \pm 11, \pm 12 \}< /математика>. Итак, применимо следующее:
::::: (-13)^k + (-9)^k + (-4)^k + 4^k + 9^k + 13^k = (-12)^k + (- 11)^k + (-1)^k + 1^k + 11^k + 12^k \quad (= 0, 532, 0, 70756, 0 ) \quad для k \in \{ 1, 2, 3, 4, 5 \
:* Для n=7 известно, среди прочего, следующее идеальное симметричное решение:
:::* A = \{ -51, -33, -24, 7, 13, 38, 50 \ и B = \{ 51, 33, 24, -7, -13, -38, -50 \. Итак, применимо следующее:
::::: (-51)^k + (-33)^k + (-24)^k + 7^k + 13^k + 38^k + 50^k = 51^k + 33 ^k + 24^k + (-7)^k + (-13)^k + (-38)^k + (-50)^k \quad
:::::: (= 0, 8428, 0, 16648996, 0, 37719739588 ) \quad for k \in \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \
:* Для n=8 известно, среди прочего, следующее идеальное симметричное решение:
:::* A = \{ \pm 2, \pm 16, \pm 21, \pm 25 \ и B = \{ \pm 5, \pm 14, \pm 23, \pm 24\. Итак, применимо следующее:
::::: (-25)^k + (-21)^k + (-16)^k + (-2)^k + 2^k + 16^k + 21^k + 25^ k = (-24)^k + (-23)^k + (-14)^k + (-5)^k + 5^k + 14^k + 23^k + 24^k \quad

T \not= 0 симметричны

:* Для n=2 известны, среди прочего, следующие идеальные решения:
:::* A = \{ 0, 2 \} и B = \{ 1, 1 \}. Итак, применимо следующее:
::::: 0^k + 2^k = 1^k + 1^k \quad (= 2 ) \quad for k \in \{ 1 \. Итак, применимо следующее:
::::: 0^k + 5^k + 6^k + 16^k + 17^k + 22^k = 1^k + 2^k + 10^k + 12^k + 20^ к + 21^к
:::::: (= 66, 1090, 19998, 385234, 7632966 ) \quad for k \in \{ 1, 2, 3, 4, 5 \ и C = \{ 3, 11, 40, 56, 85, 93 \ и D = \{ 5, 8, 45, 51, 88, 91 \}< /математика>. Итак, применимо следующее:
:::::
\begin{array}{rcl}
0^k + 23^k + 25^k + 71^k + 73^k + 96^k & = & 1^k + 16^k + 33^k + 63^k + 80^k + 95^k \ \
& = & 3^k + 11^k + 40^k + 56^k + 85^k + 93^k \\
& = & 5^k + 8^k + 45^k + 51^k + 88^k + 91^k \end{array}
:::::: (= 288, 20740, 1659456, 139415044, 12047229888 ) \quad for k \in \{ 1, 2, 3, 4, 5 \

. Итак, применимо следующее:
::::: 0^k + 19^k + 25^k + 57^k + 62^k + 86^k = 2^k + 11^k + 40^k + 42^k + 69^ к + 85^к
:::::: (= 249, 15475, 1082061, 80554099, 6234336789 ) \quad for k \in \{ 1, 2, 3, 4, 5 \. Итак, применимо следующее:
::::: 0^k + 9^k + 17^k + 34^k + 36^k + 46^k = 1^k + 6^k + 24^k + 25^k + 42^ к + 44^к
:::::: (= 142, 4938, 188938, 7583490, 313343482 ) \quad for k \in \{ 1, 2, 3, 4, 5 \


::
::::: итак: 0^1 + 3^1 + 3^1 = 1^1 + 1^1 + 4^1 \quad (= 6 )
::::: и: 0^2 + 3^2 + 3^2 = 1^2 + 1^2 + 4^2 \quad (= 18)
:::: Например, если вы установите S:=1 и T:=1, 2, 3, 4, \ldots, вы получите следующие эквивалентные решения:
::::: 1^k + 4^k + 4^k = 2^k + 2^k + 5^k для k \in \{ 1, 2 \}< /math> и T:=1
::::: 2^k + 5^k + 5^k = 3^k + 3^k + 6^k для k \in \{ 1, 2 \}< /math> и T:=2
::::: 3^k + 6^k + 6^k = 4^k + 4^k + 7^k для k \in \{ 1, 2 \}< /math> и T:=3
::::: 4^k + 7^k + 7^k = 5^k + 5^k + 8^k для k \in \{ 1, 2 \}< /math> и T:=4
::::: \ldots
::: ''Пример 2:''
:::: Применяется следующее:
::::: 0^k + 3^k + 3^k = 1^k + 1^k + 4^k для k \in \{ 1, 2 \}< /математика>
:::: Для S:=5 и T:=-7 вы получаете следующее эквивалентное решение:
::::: (5 \cdot 0+(-7))^k + (5 \cdot 3+(-7))^k + (5 \cdot 3+(-7))^k = (5 \cdot 1+(-7))^k + (5 \cdot 1+(-7))^k + (5 \cdot 4+(-7))^k для k \in \{ 1, 2 \
::::: также: (-7)^1 + 8^1 + 8^1 = (-2)^1 + (-2)^1 + 13^1 \quad (= 9 )
::::: и: (-7)^2 + 8^2 + 8^2 = (-2)^2 + (-2)^2 + 13^2 \quad (= 177 )

::: ''Пример 3:''
:::: Применяется следующее:
::::: A = \{ \pm 22, \pm 61, \pm 86, \pm 127, \pm 140, \pm 151 \ и B = \{ \ pm 35, \pm 47, \pm 94, \pm 121, \pm 146, \pm 148 \ — это (проблема Пруэ–Тэрри–Эскотта#examplen12negative|уже упомянутая выше) идеальное симметричное решение для < math >n=12, который, однако, содержит отрицательные элементы множества. Чтобы получить эквивалентное решение, содержащее только положительные элементы, все равно нужно найти подходящие S и T. Итак, пусть S:=1 и T:=151, тогда вы получите следующее решение:
::::::
\begin{array}{rcl}
\overline{A} & = & \{ 1 \cdot (-151)+151, (-140)+151, (-127)+151, (-86)+151, (-61)+151, (- 22)+151, 22+151, 61+151, 86+151, 127+151, 140+151, 151+151 \} \\
& = & \{ 0, 11, 24, 65, 90, 129, 173, 212, 237, 278, 291, 302 \ \end{array}
:::::: и
::::::
\begin{array}{rcl}
\overline{B} & = & \{ 1 \cdot (-148) + 151, (-146)+151, (-121)+151, (-94)+151, (-47)+151, (- 35)+151, 35+151, 47+151, 94+151, 121+151, 146+151, 148+151 \} \\
& = & \{ 3, 5, 30, 57, 104, 116, 186, 198, 245, 272, 297, 299 \ \end{array}.
:::::: Итак, применимо следующее:
::::::: 0^k + 11^k + 24^k + 65^k + 90^k + 129^k + 173^k + 212^k + 237^k + 278^k + 291^k + 302^k = 3^k + 5^k + 30^k + 57^k + 104^k + 116^k + 186^k + 198^k + 245^k + 272^k + 297^ k + 299^k \quad
:::::: Это решение также было дальнейшим решением проблемы Пруэ–Тэрри–Эскотта#Examplen12positive|упомянутой выше.





* Пусть A = \{ a_1, a_2, \ldots, a_m \ и B = \{ b_1, b_2, \ldots, b_m \} с k \in \{ 1, 2, \ldots, n \ решение.
: Тогда применяется следующее:Лоо Кенг Хуа, ''[https://de.scribd.com/doc/275010806/Hua-Loo-Keng- Введение в теорию чисел. Введение в теорию чисел], Springer, 1982.
:: Также \overline{A} = \{ a_1, a_2, \ldots, a_m, b_1 + T, b_2 + T, \ldots, b_m + T \} и \overline{ B} = \{ b_1, b_2, \ldots, b_m, a_1 + T, a_2 + T, \ldots, a_m + T \ с k \in \{ 1, 2, \ldots, n+1 \ и целое число T \in \mathbb Z — решение.

Пример

::: ''Пример:''
:::: Применяется следующее:
::::: 0^k + 3^k + 3^k = 1^k + 1^k + 4^k для k \in \{ 1, 2 \}< /математика>
:::: Например, если вы установите T:=10, вы получите следующие решения:
::::: 0^k + 3^k + 3^k + (1+10)^k + (1+10)^k + (4+10)^k = 1^k + 1^ k + 4^k + (0+10)^k + (3+10)^k + (3+10)^k для k \in \{ 1, 2, 3 \}< /математика>
::::: итак: 0^1 + 3^1 + 3^1 + 11^1 + 11^1 + 14^1 = 1^1 + 1^1 + 4^1 + 10^1 + 13^1 + 13^1 \quad (= 42)
::::: и: 0^2 + 3^2 + 3^2 + 11^2 + 11^2 + 14^2 = 1^2 + 1^2 + 4^2 + 10^2 + 13^2 + 13^2 \quad (= 456)
::::: и: 0^3 + 3^3 + 3^3 + 11^3 + 11^3 + 14^3 = 1^3 + 1^3 + 4^3 + 10^3 + 13^3 + 13^3 \quad (= 5460)






* Пусть A = \{ a_1, a_2, \ldots, a_m \ и B = \{ b_1, b_2, \ldots, b_m \} с k \in \{ 1, 2, \ldots, m-1 \ решение. Используйте S=m и T=a_1+a_2+ \ldots + a_m.
: Dann gilt:
:: Auch \overline{A} = \{ S \cdot a_1 - T, S \cdot a_2 - T, \ldots, S \cdot a_m - T \ und \overline{ B} = \{ S \cdot b_1 - T, S \cdot b_2 - T, \ldots, S \cdot b_m - T \ mit k \in \{ 1, 2, \ldots, m-1, m+1 \ — это Lösung.

Beispiele

::: ''Бейшпиль 1:''
:::: Это позолота:
::::: 0^k + 3^k + 3^k = 1^k + 1^k + 4^k для k \in \{ 1, 2 \}< /математика>
:::: Weiters ist somit S=m=3 und T=a_1+a_2+a_3=0+3+3=6 и man erhält folgende Lösungen:
::::: (3 \cdot 0-6)^k + (3 \cdot 3-6)^k + (3 \cdot 3-6)^k = (3 \cdot 1-6)^ k + (3 \cdot 1-6)^k + (3 \cdot 4-6)^k für k \in \{ 1, 2, 4 \
::::: также: (-6)^1 + 3^1 + 3^1 = (-3)^1 + (-3)^1 + 6^1 \quad (= 0)
::::: und: (-6)^2 + 3^2 + 3^2 = (-3)^2 + (-3)^2 + 6^2 \quad (= 54)
::::: und: (-6)^3 + 3^3 + 3^3 = (-3)^3 + (-3)^3 + 6^3 \quad (= \pm 162 )
::::: und: (-6)^4 + 3^4 + 3^4 = (-3)^4 + (-3)^4 + 6^4 \quad (= 1458 )
:::: Человек должен быть уверен, что k=m=3 умереть Gleichung nicht stimmt, aber für k=m+1=4 stimmt sie wieder, wie verlangt.< бр /> ::: ''Бейшпиль 2:''
:::: Это позолота:
::::: 0^k + 9^k + 11^k + 22^k = 2^k + 4^k + 15^k + 21^k для k \in \{ 1, 2, 3 \
:::: Weiters ist somit S=m=4 und T=a_1+a_2+a_3+a_4=0+9+11+22=42 и может быть найден в дальнейшем Лёсунген:
::::: (4 \cdot 0-42)^k + (4 \cdot 9-42)^k + (4 \cdot 11-42)^k + (4 \cdot 22-42)^ k = (4 \cdot 2-42)^k + (4 \cdot 4-42)^k + (4 \cdot 15-42)^k + (4 \cdot 21-42)^k für k \in \{ 1, 2, 3, 5 \
::::: также: (-42)^1 + (-6)^1 + 2^1 + 46^1 = (-34)^1 + (-26)^1 + 18^1 + 42^1 \quad (= 0)
::::: und: (-42)^2 + (-6)^2 + 2^2 + 46^2 = (-34)^2 + (-26)^2 + 18^2 + 42^2 \quad (= 3920)
::::: und: (-42)^3 + (-6)^3 + 2^3 + 46^3 = (-34)^3 + (-26)^3 + 18^3 + 42^3 \quad (= 23040)
::::: und: (-42)^4 + (-6)^4 + 2^4 + 46^4 = (-34)^4 + (-26)^4 + 18^4 + 42^4 \quad (= 7590464 bzw. 5009984 )
::::: und: (-42)^5 + (-6)^5 + 2^5 + 46^5 = (-34)^3 + (-26)^3 + 18^5 + 42^3 \quad (= 75264000)
:::: Человек должен быть уверен, что k=m=4 умереть Gleichung nicht stimmt, aber für k=m+1=5 stimmt sie wieder, wie verlangt.< бр />





* Sei A = \{ a_1, a_2, \ldots, a_m \} и B = \{ b_1, b_2, \ldots, b_m \ mit k \in \{ 1, 2, \ldots, n \ eine nicht тривиальный Lösung.
: Dann gilt:
:: m \geq n+1
:: Ist m=n+1, поэтому nennt man die Lösungen (wie schon oben erwähnt) '''идеальные Lösungen'''.

Beispiel

::: ''Бейшпиль:''
:::: Es gilt (als Beispiel für eine trivile Lösung):
::::: 0^k + 0^k + 0^k = 0^k + 0^k + 0^k для k \in \{ 1, 2, \ldots \ ist eine trivile Lösung, а также nicht erlaubt.
:::: Man muss ein anderes, nicht trivales Beispiel nehmen:
::::: 0^k + 3^k + 3^k = 1^k + 1^k + 4^k для k \in \{ 1, 2 \}< /математика>
:::: В diesem Beispiel ist m=3 и n=2, es ist somit eine Ideale Lösung. Итак, это m=3 \geq 2+1 = n+1. Если n=3, это неравенство больше не будет применяться. Поэтому решения вида не существует
::::: a_1^k + a_2^k + a_2^k = b_1^k + b_2^k + b_3^k для k \in \{ 1, 2, \ldots n \} с n>2






== Метод определения решений ==
* Французский математик Эжен Пруэ | Пруэ использовал последовательность Туэ-Морса, чтобы найти решение n=2^k для всех k. В частности, он разделил числа между 0 и 2^k-1 на
::а) числа, двоичное представление которых (т.е. представление в двойственной системе) содержит четное число единиц (так называемые злые числа) и
:: б) числа, двоичное представление которых содержит нечетное число единиц (так называемые отвратительные числа).
: Тогда два набора подразделений приводят к решению проблемы.
:: ''Пример:''
::: Пусть n=2^3=8 и k=3. Тогда следующее применимо к подразделению чисел от 0 до n=2^{k+1}-1=2^{3+1}-1=2^4-1 =16- 1=15:
:::: '''0'''=(0)2, '''3'''=(11)2, '''5'' '=(101)2, '''6'''=(110)2, '''9'''=(1001)2< /sub>, '''10'''=(1010)2, '''12'''=(1100)2 и '''15'' '=(1111)2
::: Все эти 8 чисел имеют четное количество единиц в двоичном представлении, поэтому являются злыми числами и образуют набор A = \{ 0, 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15 \} .
:::: '''1'''=(1)2, '''2'''=(10)2, '''4'' '=(100)2, '''7'''=(111)2, '''8'''=(1000)2< /sub>, '''11'''=(1011)2, '''13'''=(1101)2 и '''14'' '=(1110)2
::: Все эти 8 чисел имеют нечетное количество единиц в двоичном представлении, поэтому являются отвратительными числами и образуют набор B = \{ 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14 \} .
::: Фактически вы получаете решение системы уравнений:
:::: 0^k + 3^k + 5^k + 6^k + 9^k + 10^k + 12^k + 15^k = 1^k + 2^k + 4^k + 7^k + 8^k + 11^k + 13^k + 14^k \quad для k \in \{ 1,2,3 \

== Обобщение ==
Пусть n, k \in \mathbb N — два положительных целых числа. Тогда есть два целочисленных мультимножества \{(x_1,y_1), \dots, (x_n,y_n)\ и \{(x_1',y_1'), \dots, (x_n ' 'y_n') \ искал так, что:
:\sum_{i=1}^nx_i^jy_i^{d-j}=\sum_{i=1}^n{x'}_i^j{y'}_i^{d-j} для все d, j \in \{ 0, \dots, k \} с j \leq d.
Этот многомерный вариант проблемы Пруэ-Тэрри-Эскотта был представлен и изучен Андреасом Альперсом и Робертом Тайдеманом в 2007 году.

=== Пример ===
* Пусть n=6 и k=5. Данн позолочен:
::\{(x_1,y_1),\dots,(x_6,y_6)\}=\{(2,1),(1,3),(3,6),(6,7), (7,5),(5,2)\ und \{(x'_1,y'_1),\dots,(x'_6,y'_6)\}=\{ (1,2),(2,5),(5,7),(7,6),(6,3),(3,1)\
: Mit anderen Worten:
::
\begin{array}{rclcll>
2^0 \cdot 1^0 + 1^0 \cdot 3^0 + 3^0 \cdot 6^0 + 6^0 \cdot 7^0 + 7^0 \cdot 5^0 + 5^0 \cdot 2^0 & = & 1^0 \cdot 2^0 + 2^0 \cdot 5^0 + 5^0 \cdot 7^0 + 7^0 \cdot 6^0 + 6^0 \cdot 3^0 + 3^0 \cdot 1^0 & \quad (= & 6), & d=0, j=0 \\
2^0 \cdot 1^1 + 1^0 \cdot 3^1 + 3^0 \cdot 6^1 + 6^0 \cdot 7^1 + 7^0 \cdot 5^1 + 5^0 \cdot 2^1 & = & 1^0 \cdot 2^1 + 2^0 \cdot 5^1 + 5^0 \cdot 7^1 + 7^0 \cdot 6^1 + 6^0 \cdot 3^1 + 3^0 \cdot 1^1 & (= & 24 ), & d=1, j=0 \\
2^1 \cdot 1^0 + 1^1 \cdot 3^0 + 3^1 \cdot 6^0 + 6^1 \cdot 7^0 + 7^1 \cdot 5^0 + 5^1 \cdot 2^0 & = & 1^1 \cdot 2^0 + 2^1 \cdot 5^0 + 5^1 \cdot 7^0 + 7^1 \cdot 6^0 + 6^1 \cdot 3^0 + 3^1 \cdot 1^0 & (= & 24 ), & d=1, j=1 \\
2^0 \cdot 1^2 + 1^0 \cdot 3^2 + 3^0 \cdot 6^2 + 6^0 \cdot 7^2 + 7^0 \cdot 5^2 + 5^0 \cdot 2^2 & = & 1^0 \cdot 2^2 + 2^0 \cdot 5^2 + 5^0 \cdot 7^2 + 7^0 \cdot 6^2 + 6^0 \cdot 3^2 + 3^0 \cdot 1^2 & (= & 124 ), & d=2, j=0 \\
2^1 \cdot 1^1 + 1^1 \cdot 3^1 + 3^1 \cdot 6^1 + 6^1 \cdot 7^1 + 7^1 \cdot 5^1 + 5^1 \cdot 2^1 & = & 1^1 \cdot 2^1 + 2^1 \cdot 5^1 + 5^1 \cdot 7^1 + 7^1 \cdot 6^1 + 6^1 \cdot 3^1 + 3^1 \cdot 1^1 & (= & 110 ), & d=2, j=1 \\
2^2 \cdot 1^0 + 1^2 \cdot 3^0 + 3^2 \cdot 6^0 + 6^2 \cdot 7^0 + 7^2 \cdot 5^0 + 5^2 \cdot 2^0 & = & 1^2 \cdot 2^0 + 2^2 \cdot 5^0 + 5^2 \cdot 7^0 + 7^2 \cdot 6^0 + 6^2 \cdot 3^0 + 3^2 \cdot 1^0 & (= & 124 ), & d=2, j=2 \\
2^0 \cdot 1^3 + 1^0 \cdot 3^3 + 3^0 \cdot 6^3 + 6^0 \cdot 7^3 + 7^0 \cdot 5^3 + 5^0 \cdot 2^3 & = & 1^0 \cdot 2^3 + 2^0 \cdot 5^3 + 5^0 \cdot 7^3 + 7^0 \cdot 6^3 + 6^0 \cdot 3^3 + 3^0 \cdot 1^3 & (= & 720 ), & d=3, j=0 \\
2^1 \cdot 1^2 + 1^1 \cdot 3^2 + 3^1 \cdot 6^2 + 6^1 \cdot 7^2 + 7^1 \cdot 5^2 + 5^1 \cdot 2^2 & = & 1^1 \cdot 2^2 + 2^1 \cdot 5^2 + 5^1 \cdot 7^2 + 7^1 \cdot 6^2 + 6^1 \cdot 3^2 + 3^1 \cdot 1^2 & (= & 608 ), & d=3, j=1 \\
2^2 \cdot 1^1 + 1^2 \cdot 3^1 + 3^2 \cdot 6^1 + 6^2 \cdot 7^1 + 7^2 \cdot 5^1 + 5^2 \cdot 2^1 & = & 1^2 \cdot 2^1 + 2^2 \cdot 5^1 + 5^2 \cdot 7^1 + 7^2 \cdot 6^1 + 6^2 \cdot 3^1 + 3^2 \cdot 1^1 & (= & 608 ), & d=3, j=2 \\
2^3 \cdot 1^0 + 1^3 \cdot 3^0 + 3^3 \cdot 6^0 + 6^3 \cdot 7^0 + 7^3 \cdot 5^0 + 5^3 \cdot 2^0 & = & 1^3 \cdot 2^0 + 2^3 \cdot 5^0 + 5^3 \cdot 7^0 + 7^3 \cdot 6^0 + 6^3 \cdot 3^0 + 3^3 \cdot 1^0 & (= & 720 ), & d=3, j=3 \\
2^0 \cdot 1^4 + 1^0 \cdot 3^4 + 3^0 \cdot 6^4 + 6^0 \cdot 7^4 + 7^0 \cdot 5^4 + 5^0 \cdot 2^4 & = & 1^0 \cdot 2^4 + 2^0 \cdot 5^4 + 5^0 \cdot 7^4 + 7^0 \cdot 6^4 + 6^0 \cdot 3^4 + 3^0 \cdot 1^4 & (= & 4420 ), & d=4, j=0 \\
2^1 \cdot 1^3 + 1^1 \cdot 3^3 + 3^1 \cdot 6^3 + 6^1 \cdot 7^3 + 7^1 \cdot 5^3 + 5^1 \cdot 2^3 & = & 1^1 \cdot 2^3 + 2^1 \cdot 5^3 + 5^1 \cdot 7^3 + 7^1 \cdot 6^3 + 6^1 \cdot 3^3 + 3^1 \cdot 1^3 & (= & 3650 ), & d=4, j=1 \\
2^2 \cdot 1^2 + 1^2 \cdot 3^2 + 3^2 \cdot 6^2 + 6^2 \cdot 7^2 + 7^2 \cdot 5^2 + 5^2 \cdot 2^2 & = & 1^2 \cdot 2^2 + 2^2 \cdot 5^2 + 5^2 \cdot 7^2 + 7^2 \cdot 6^2 + 6^2 \cdot 3^2 + 3^2 \cdot 1^2 & (= & 3426 ), & d=4, j=2 \\
2^3 \cdot 1^1 + 1^3 \cdot 3^1 + 3^3 \cdot 6^1 + 6^3 \cdot 7^1 + 7^3 \cdot 5^1 + 5^3 \cdot 2^1 & = & 1^3 \cdot 2^1 + 2^3 \cdot 5^1 + 5^3 \cdot 7^1 + 7^3 \cdot 6^1 + 6^3 \cdot 3^1 + 3^3 \cdot 1^1 & (= & 3650 ), & d=4, j=3 \\
2^4 \cdot 1^0 + 1^4 \cdot 3^0 + 3^4 \cdot 6^0 + 6^4 \cdot 7^0 + 7^4 \cdot 5^0 + 5^4 \cdot 2^0 & = & 1^4 \cdot 2^0 + 2^4 \cdot 5^0 + 5^4 \cdot 7^0 + 7^4 \cdot 6^0 + 6^4 \cdot 3^0 + 3^4 \cdot 1^0 & (= & 4420 ), & d=4, j=4 \\
2^0 \cdot 1^5 + 1^0 \cdot 3^5 + 3^0 \cdot 6^5 + 6^0 \cdot 7^5 + 7^0 \cdot 5^5 + 5^0 \cdot 2^5 & = & 1^0 \cdot 2^5 + 2^0 \cdot 5^5 + 5^0 \cdot 7^5 + 7^0 \cdot 6^5 + 6^0 \cdot 3^5 + 3^0 \cdot 1^5 & (= & 27984), & d=5, j=0 \\
2^1 \cdot 1^4 + 1^1 \cdot 3^4 + 3^1 \cdot 6^4 + 6^1 \cdot 7^4 + 7^1 \cdot 5^4 + 5^1 \cdot 2^4 & = & 1^1 \cdot 2^4 + 2^1 \cdot 5^4 + 5^1 \cdot 7^4 + 7^1 \cdot 6^4 + 6^1 \cdot 3^4 + 3^1 \cdot 1^4 & (= & 22832 ), & d=5, j=1 \\
2^2 \cdot 1^3 + 1^2 \cdot 3^3 + 3^2 \cdot 6^3 + 6^2 \cdot 7^3 + 7^2 \cdot 5^3 + 5^2 \cdot 2^3 & = & 1^2 \cdot 2^3 + 2^2 \cdot 5^3 + 5^2 \cdot 7^3 + 7^2 \cdot 6^3 + 6^2 \cdot 3^3 + 3^2 \cdot 1^3 & (= & 20648 ), & d=5, j=2 \\
2^3 \cdot 1^2 + 1^3 \cdot 3^2 + 3^3 \cdot 6^2 + 6^3 \cdot 7^2 + 7^3 \cdot 5^2 + 5^3 \cdot 2^2 & = & 1^3 \cdot 2^2 + 2^3 \cdot 5^2 + 5^3 \cdot 7^2 + 7^3 \cdot 6^2 + 6^3 \cdot 3^2 + 3^3 \cdot 1^2 & (= & 20648 ), & d=5, j=3 \\
2^4 \cdot 1^1 + 1^4 \cdot 3^1 + 3^4 \cdot 6^1 + 6^4 \cdot 7^1 + 7^4 \cdot 5^1 + 5^4 \cdot 2^1 & = & 1^4 \cdot 2^1 + 2^4 \cdot 5^1 + 5^4 \cdot 7^1 + 7^4 \cdot 6^1 + 6^4 \cdot 3^1 + 3^4 \cdot 1^1 & (= & 22832 ), & d=5, j=4 \\
2^5 \cdot 1^0 + 1^5 \cdot 3^0 + 3^5 \cdot 6^0 + 6^5 \cdot 7^0 + 7^5 \cdot 5^0 + 5^5 \cdot 2^0 & = & 1^5 \cdot 2^0 + 2^5 \cdot 5^0 + 5^5 \cdot 7^0 + 7^5 \cdot 6^0 + 6^5 \cdot 3^0 + 3^5 \cdot 1^0 & (= & 27984), & d=5, j=5
\end{array}


* Не существует известных решений для n=k+1 с k \geq 6.

== См. также ==
* Гипотеза Эйлера
* Уравнение Якоби-Мэддена
* Пифагорова четверка
* Номер такси

* * Чоудри, Аджай: [https://www.e- periodica.ch/cntmng?pid=ens-001%3A2003%3A49%3A%3A74 Идеальные решения задачи Тарри-Эскотта четвертой и пятой степени и родственные диофантовые системы ], L'Enseignement mathématique '''49''' (2003), стр. 101–108



Категория: Целые числа
Категория:Теория чисел

Подробнее: https://de.wikipedia.org/wiki/Prouhet-T ... tt-Problem