Эллипсоидные координаты ⇐ Васина Википедия

[wiki_de]

'''Координаты эллипсоида'''(
Координаты эллипсоида всегда допускают разделение переменных в уравнении Лапласа | Уравнении Лапласа и Гельмгольца,
Путем преобразования к эллиптическим координатам уравнение Шредингера для молекулы H2+ можно разделить с использованием подхода разделения в приближении Борна-Оппенгеймера, а также решить для особых форм потенциальной энергии: .
== Координатные поверхности ==
В эллипсоидных координатах
:\frac{x^2}{\eta^2-a^2}+\frac{y^2}{\eta^2-b^2}
+\frac{z^2}{\eta^2}=1

гиперболоид с одной оболочкой (''θ''=const., красный на рисунке выше)

:\frac{y^2}{\theta^2-b^2}+\frac{z^2}{\theta^2}
-\frac{x^2}{a^2-\theta^2}=1

и двустворчатый (с ''λ''=const., желтый на рисунке выше)

:\frac{z^2}{\lambda^2}-\frac{x^2}{a^2-\lambda^2}
-\frac{y^2}{b^2-\lambda^2}=1

Чтобы это было возможно,

:0\le\lambda^2\alpha_{1,2,3} определяются
:\begin{align}
(\eta^2-a^2)(\eta^2-b^2)\frac{\part^2H}{\part\eta^2}
+[2\eta^2-(a^2+b^2)]\eta\frac{\part H}{\part\eta}
+(a_1\eta^4+a_3\eta^2+a_2)H
=&0
\\
(a^2-\theta^2)(\theta^2-b^2)\frac{\part^2\Theta}{\part\theta^2}
-[2\theta^2-(a^2+b^2)]\theta\frac{\part\Theta}{\part\theta}
-(a_1\theta^4+a_3\theta^2+a_2)\Theta
=&0
\\
(a^2-\lambda^2)(b^2-\lambda^2)\frac{\part^2\Lambda}{\part\lambda^2}
+[2\lambda^2-(a^2+b^2)]\lambda\frac{\part\Lambda}{\part\lambda}
+(a_1\lambda^4+a_3\lambda^2+a_2)\Lambda
=&0
\end{align}

В уравнении Гельмгольца \Delta\phi+\kappa^2\phi=0 равен \alpha_1=\kappa^2, а в уравнении Лапласа это \alpha_1 =0.
=== Подход Морса и Фешбаха ===
Другой подход
:\mathbf{S}=\begin{pmatrix}
1&
\frac1{\eta^2-a^2}&
\frac1{(a^2-b^2)(\eta^2-b^2)}\\
1&
\frac1{\theta^2-a^2}&
\frac1{(a^2-b^2)(\theta^2-b^2)}\\
1&
\frac1{\lambda^2-a^2}&
\frac1{(a^2-b^2)(\lambda^2-b^2)}
\end{pmatrix}

с определителем

:
S=\frac{(\eta^2-\lambda^2)(\eta^2-\theta^2)(\theta^2-\lambda^2) {(\eta^2-a^2)(\eta^2-b^2)(a^2-\theta^2)(\theta^2-b^2)
(a^2-\lambda^2)(b^2-\lambda^2)}


и несовершеннолетние

:\begin{align}
M_{11}=&\frac{(\theta^2-\lambda^2)}
{ (a^2-\theta^2)(\theta^2-b^2)(a^2-\lambda^2)(b^2-\lambda^2) \\
M_{21}=&\frac{(\eta^2-\lambda^2)}
{ (\eta^2-a^2)(\eta^2-b^2)(a^2-\lambda^2)(b^2-\lambda^2) \\
M_{31}=&\frac{(\eta^2-\theta^2)}
{ (\eta^2-a^2)(\eta^2-b^2)(a^2-\theta^2)(\theta^2-b^2) \end{align}

Коэффициенты подхода к разделению \phi(\eta,\theta,\lambda)=H(\eta)\cdot\Theta(\theta)\cdot\Lambda(\lambda) и разделения константы \alpha_{1,2,3} здесь являются результатом дифференциальных уравнений

:\begin{align}
(\eta^2-a^2)(\eta^2-b^2)\frac{\part^2H}{\part\eta^2}
+(2\eta^2-a^2-b^2)\eta\frac{\part H}{\part\eta}
\\
+\{\alpha_1\eta^4-[\alpha_1(a^2+b^2)-\alpha_2]\eta^2
+(\alpha_1a^2-\alpha_2)b^2\}H
=&-\alpha_3\frac{\eta^2-a^2}{a^2-b^2}H
\\
(a^2-\theta^2)(\theta^2-b^2)\frac{\part^2\Theta}{\part\theta^2}
-(2\theta^2-b^2-a^2)\theta\frac{\part\Theta}{\part\theta}
\\
+[\alpha_1(a^2-\theta^2)(\theta^2-b^2)-\alpha_2(\theta^2-b^2)]\Theta
=&-\alpha_3\frac{a^2-\theta^2}{a^2-b^2}\Theta
\\
(a^2-\lambda^2)(b^2-\lambda^2)\frac{\part^2\Lambda}{\part\lambda^2}
+(2\lambda^2-b^2-a^2)\lambda\frac{\part\Lambda}{\part\lambda}
\\
+[\alpha_1(a^2-\lambda^2)(b^2-\lambda^2)-\alpha_2(b^2-\lambda^2)]\Lambda
=&\alpha_3\frac{a^2-\lambda^2}{a^2-b^2}\Lambda
\end{align}

Здесь также \alpha_1=\kappa^2 равно \Delta\phi+\kappa^2\phi=0 для уравнения Гельмгольца и, соответственно, < для уравнения Лапласа math> \alpha_1=0.
*
==Индивидуальные доказательства==








Несмотря на разделение переменных, уравнение Шредингера можно решить аналитически только в особых случаях, поскольку константа разделения и энергия явно появляются в двух разделенных дифференциальных уравнениях. В трех измерениях потенциальная энергия должна иметь определенную форму, чтобы решение было успешным, см. Morse & Feshbach (1953), стр. 511 и далее.


В Moon and Spencer (1971), стр. 40, компоненты x и z поменяны местами по сравнению с представлением Морса и Фешбаха (1953), стр. 663, так что в первом случае не создается никакой правовой системы.



Категория:Система координат