Такер круг ⇐ Васина Википедия

[wiki_de]

«Круг Такера» треугольника, названный в честь Роберта Такера (математика) | Роберта Такера (1832–1905), является одним из кругов треугольника | специальных кругов геометрии | треугольной геометрии. Здесь данный треугольник имеет не одну окружность Такера, а семейство кривых окружностей Такера. Сюда входит ряд особых кругов треугольника, включая окружность, первый круг Лемуана|первый круг Лемуана, второй круг Лемуана|второй круг Лемуана, третий круг Лемуана|третий круг Лемуана и круг Тейлора,

==Определение==
Вы начинаете с точки на одной из (расширенных) сторон треугольника, а затем последовательно строите еще пять точек, поочередно пересекая параллель или антипараллельность одной стороны треугольника через последнюю точку, полученную с (расширенной) другой стороной треугольника. треугольник и таким образом получает следующую точку. Например, если вы начинаете с точки Q_c на AB, то антипараллель к AC пересекает Q_c < math> BC до P_a. Параллель с AB через P_a пересекает AC в Q_b. Антипараллель к BC через Q_b разрезает AB на P_c. Параллель с AC через P_c разрезает BC на Q_a. Антипараллель к AB через Q_a разрезает AC на P_b. Наконец, параллель с BC пересекает P_b AB в Q_c. Итак, чередуя три параллели и антипараллели, вы вернулись в исходную точку Q_c. Это общее свойство линии, построенной таким образом Q_cP_aQ_bP_cQ_bP_bQ_c, и ее шесть точек лежат на общем круге, «круге Такера». Шестиугольник, образованный замкнутой линией, называется «шестиугольником Такера».Роджер А. Джонсон: «Расширенная евклидова геометрия». Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, стр. 274-277 (впервые опубликовано в 1929 году компанией Houghton Mifflin Company (Бостон) под названием «Современная геометрия») Росс Хонсбергер: «Эпизоды евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого веков». МАА, 1995, стр. 87-98 ([https://archive.org/details/episodes-in ... twentieth- Century-euclidean-geometry-ross-honsberger/page/86/mode/2up, цифровая копия ] )

== Свойства и отношения ==
Далее K обозначает точку Лемуана, а O — центр описанной окружности треугольника \triangle ABC с шестиугольником Такера Q_cP_aQ_bP_cQ_bP_b, антипараллельными сторонами которого являются Q_cP_a, Q_bP_c и Q_aP_b. T — это центр связанного круга Такера. L — пересечение линии AK с Q_bP_c, M — пересечение линии BK с Q_cP_a и N — пересечение линии CK с Q_aP_b. H_a , H_b и H_c — это базовые точки высот треугольника \triangle ABC . К этим обозначениям применимы следующие утверждения:

*Три антипараллельные стороны шестиугольника Такера параллельны сторонам треугольника с базовой точкой \triangle H_aH_bH_c , что означает: Q_bP_c \parallel H_bH_c , Q_cP_A \ параллель H_cH_a и Q_aP_b \parallel H_aH_b .Шандор Нагидобай Кисс, Пол Ю: «На кругах Такера». В: Forum Geometricorum, том 17 (2017), с. 157–175 ([https://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201720.pdf цифровая копия])

*Треугольник \triangle LNM представляет собой центрическое растяжение треугольника \triangle ABC с точкой Лемуана K в качестве центра растяжения и коэффициента растяжения. \frac {|KL|}{|KA|}=\frac{|KM|}{|KB|}=\frac{|KN|}{|KC|}< br />
*Линии, соединяющие угловые точки с центром окружности, перпендикулярны (продолженным) антипараллельным сторонам шестиугольника Такера. Применяется следующее: Q_bP_c \perp AO , Q_cP_a \perp BO и Q_aP_b \perp CO.< бр />
*Центр T круга Такера лежит на KO , линии, соединяющей точку Лемпойна и центр описанной окружности. Коэффициент \frac{|KT|}{|KO|} соответствует коэффициенту центроцентрического растяжения, которое преобразует треугольник\triangle ABC в треугольник \ треугольник LNM передан. Итак, \frac{|KT|}{|KO|}=\frac{|KL|}{|KA|}=\frac{|KM|}{|KB|}=\frac{|KN |} {|KC|.

*Эллипс Брокара треугольника \triangle ABC является огибающей кругов Такера треугольника.

*Окружность получается в виде круга Такера, когда шестиугольник Такера Q_cP_aQ_bP_cQ_bP_b сливается с треугольником \triangle ABC, т. е. Q_b=P_c=A , Применяются Q_c=P_a=A и Q_a=P_b=C .

Семейство кругов Такера треугольника параметризуется с использованием ориентированной длины отрезка Q_bP_c:
:
т=
\begin{дела \ \ \, |Q_bP_c|, & \text{ if } A \notin \text{ маршрут } P_cB \\
-|Q_bP_c|, & \text{ if } A \in \text{ маршрут } P_cB
\end{cases}


Тогда следующая формула дает результат для радиуса круга Такера в зависимости от t:
:R(t)=\sqrt{ \frac{t^2 (a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)-t(a^2+b^2+c^ 2)abc+a^2b^2c^2
{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}

Для специальных схем Такера параметры показаны в таблице.

== Литература ==
* Роджер А. Джонсон: «Продвинутая евклидова геометрия». Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, стр. 274-277 (впервые опубликовано в 1929 году компанией Houghton Mifflin Company (Бостон) под названием «Современная геометрия»)
*А. Эммерих: «Структуры Брокара и их отношения к соответствующим странным точкам и окружностям треугольника». Verlag Georg Reimer, Берлин, 1891 г., стр. 53-67
*Росс Хонсбергер: «Эпизоды евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого веков». МАА, 1995, стр. 87-98 ([https://archive.org/details/episodes-in ... twentieth- Century-euclidean-geometry-ross-honsberger/page/86/mode/2up, цифровая копия ] )
*Шандор Нагидобай Кисс, Пол Ю: «На кругах Такера». В: Forum Geometricorum, том 17 (2017), стр. 157–175 ([https://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201720.pdf, цифровая копия])

* * [https://www.cut-the-knot.org/Curriculum ... xplanation Круги Такера] на сайте Cut-the-knot.org

Категория:Круг
Категория:Геометрия треугольника