Мобильная версия==Постоянный потенциальный поток==
Рассмотрим устойчивый потенциальный поток, который характеризуется потенциалом скорости \varphi(\mathbf x). Тогда \varphi удовлетворяет
:(c^2-\varphi_x^2)\varphi_{xx}+(c^2-\varphi_y^2)\varphi_{yy}+(c^2-\varphi_z^2)\varphi_{zz }-2(\varphi_x\varphi_y\varphi_{xy}+\varphi_y\varphi_z\varphi_{yz}+\varphi_z\varphi_x\phi_{zx})=0
где c=c(v^2) скорость звука выражается как функция величины скорости v^2=(\nabla \varphi)^2. Для политропный газ, можно написать
:c^2 = c_0^2 - \frac{\gamma-1}{2}v^2
где \gamma — коэффициент удельной теплоемкости, c_0^2 = h_0(\gamma-1)/2 — скорость застойного звука, а h_0 – энтальпия торможения. Пусть U — характерный масштаб скорости, а c_0 — характерное значение скорости звука, тогда функция c(v^2), для малые числа Маха M=U/c_0\ll 1, имеет вид
:\frac{c^2}{U^2} = \frac{1}{M^2} - \frac{\gamma-1}{2}\frac{v^2}{U^2 }.
Для малых чисел Маха можно ввести рядФон Кармана, Th. «Эффекты сжимаемости в аэродинамике». Журнал космических кораблей и ракет 40, вып. 6 (1941): 992-1011.
:\varphi = U (\varphi_0 + M^2 \varphi_1 + M^4 \varphi_2 + \cdots)
Подстановка этого основного уравнения и сбор членов разных порядков Ma приводит к набору уравнений. Это
:\begin{align}
\nabla^2\varphi_0 &= 0,\\
\nabla^2\varphi_1 & = \varphi_{0,x}^2\varphi_{0,xx} + \varphi_{0,y}^2\varphi_{0,yy} + \varphi_{0,z}^ 2\varphi_{0,zz} +2(\varphi_{0,x}\varphi_{0,y}\varphi_{0,xy}+\varphi_{0,y}\varphi_{0,z}\varphi_{ 0,yz}+\varphi_{0,z}\varphi_{0,x}\phi_{0,zx}),
\end{align}
и так далее.
===Метод Имаи–Ламлы===
Простой метод нахождения частного интеграла для \varphi_1 в двух измерениях был разработан Исао Имаи (физик)|Исао Имаи и
Эрнст Ламла|Эрнст Ламла.IMAI, Исао. «Новый метод последовательных приближений для решения двумерного дозвукового течения сжимаемой жидкости». Труды Физико-математического общества Японии. 3-я серия 24 (1942): 120–129.Ламла, Э. (1942). О симметричном потенциальном течении сжимаемой жидкости мимо круглого цилиндра в туннеле в докритической зоне (№ NACA-TM-1018).Имаи, Исао и Такаси Айхара. О дозвуковом обтекании эллиптического цилиндра сжимаемой жидкостью. Институт авиационных исследований, Императорский университет Токио, 1940 год. В двух измерениях задачу можно решить с помощью комплексного анализа, введя комплексный потенциал f(z,\overline z) = \varphi + i\psi< /math> формально рассматривается как функция z=x+iy и ее сопряженной \overline z = x-iy; здесь \psi — функция потока, определенная так, что:u =\frac{\rho_\infty}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial y}=\frac{\partial\varphi}{\partial x}, \quad v = -\frac{\rho_\infty}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial x}=\frac{\partial\varphi}{\partial y
где \rho_\infty — некоторое эталонное значение плотности. Ряд возмущений f определяется выражением
:f(z,\overline z) = U[f_0(z) + M^2 f_1(z,\overline z) + \cdots]
где f_0=f_0(z) — аналитическая функция, поскольку \varphi и \psi, являющиеся решениями уравнения Лапласа, являются гармоническими функциями. Интеграл для задачи первого порядка приводит к формуле Имаи-Ламлы ДЖАКОБ, К. 1959. Введение в математическую механику жидкостей. Готье-Виллар.Барсонь-Надь, А. «Распространение теоремы о силе Блазиуса на дозвуковые скорости». Журнал AIAA 23, вып. 11 (1985): 1811–1812 гг.
:f_1(z,\overline z) = \frac{1}{4} \frac{df_0}{dz}\overline{\int\left(\frac{df_0}{dz}\right)^2dz } + F(z)
где F(z) — однородное решение (аналитическая функция), которое можно использовать для удовлетворения необходимых граничных условий. Ряд для комплексного потенциала скорости g = u-iv имеет вид
:g(z,\overline z) = U[g_0(z) + M^2g_1(z,\overline z) +\cdots]
где g_0=df_0/dz иКарабиняну, Адриан. «Подход граничных интегральных уравнений для исследования дозвукового обтекания сжимаемого профиля аэродинамическим профилем с выступом». Нелинейный анализ: теория, методы и приложения 30, вып. 6 (1997): 3449-3454.
:g_1(z,\overline z) = \frac{1}{4} \frac{d^2f_0}{dz^2}\overline{\int\left(\frac{df_0}{dz}\ right)^2dz} + \frac{1}{4}\overline{ \frac{df_0}{dz\left(\frac{df_0}{dz}\right)^2 + \frac{dF}{dz}.
*
Гидродинамика
Подробнее: https://en.wikipedia.org/wiki/Janzen%E2 ... _expansion