Заговор Муни-Кальона ⇐ Васина Википедия

[wiki_en]

В реологии и реометрии|капиллярной реометрии используется «график Муни-Кальона» (также называемый «график Муни» или «диаграмма Муни») Mooney, M., 1931, «Явные формулы для скольжения и текучести», Journal of Rheology, 2 (2), стр. 210–222.Kalyon, DM, 2005, «Очевидное скольжение и вязкопластичность концентрированных суспензий», Journal of Rheology, 49(3), стр. 621–640. представляет собой графический метод, используемый для обнаружения и количественной оценки скольжения стенки во время потока неньютоновских жидкостей под давлением через капилляр или щелевая умирает. Первоначально метод был предложен Мелвином Муни в 1931 году и положен на строгую теоретическую основу Дилханом М. Калионом | Дилханом М. Калионом в 2005 году, который объединил анализ вязкопластичности | вязкопластичных (жидкость Гершеля-Балкли | Гершель-Балкли) жидкостей и концентрированных суспензий.

График Муни-Кальона строится путем построения графика кажущейся скорости сдвига \dot{\gamma}_a в зависимости от обратного радиуса капилляра 1/R при постоянных значениях напряжения сдвига стенки \tau_w. При наличии скольжения стенки результирующие данные попадают на прямые линии, наклоны которых прямо пропорциональны скорости Velocity|slip v_s.

==Фон==

===Граничное условие прилипания===
Фундаментальным предположением в гидродинамике является «условие прилипания», которое гласит, что скорость жидкости на твердой границе равна скорости этой границы. Для ньютоновских жидкостей это предположение справедливо практически во всех практических условиях. Однако для сложных жидкостей, включая расплавы полимеров, концентрированные суспензии, эмульсии, пены и вязкопластичные | вязкопластические материалы, жидкость может проявлять конечную скорость у стенки, когда напряжение сдвига стенки превышает критическое значение \tau_{w,c. Это явление известно как «скольжение стенки» и приводит к систематическим ошибкам в реологических измерениях, если оно не учтено должным образом. стр. 221–251.

===Происхождение кажущегося скольжения стены===
В концентрированных суспензиях частицы не могут занимать пространство, прилегающее к твердой поверхности, так же эффективно, как в объеме, образуя тонкий «слой, обедненный частицами» (или «кажущийся скользящий слой») толщиной \delta, который состоит преимущественно из непрерывной фазы (связующего).Клуатр, М. и Боннеказ, Р. T., 2017, «Обзор скольжения по стенкам в дисперсиях с высоким содержанием твердых частиц», Rheologica Acta, 56, стр. 283–305. Этот слой имеет вязкость намного ниже, чем объемная суспензия, и действует как смазка, вызывая кажущийся скачок скорости у стенки.

Калион показал, что толщина слоя скольжения связана с геометрическими параметрами подвески корреляцией
:
\frac{\delta}{2R_p} = 1 - \frac{\phi}{\phi_{\max

где R_p — радиус частицы, \phi — объемная доля частиц, а \phi_{\max} — фракция упаковки (масс-спектрометрия)|максимальная фракция упаковки. Тот факт, что эта корреляция включает только геометрические величины, позволяет предположить, что «стерическое истощение» является ведущим механизмом, определяющим кажущееся скольжение стенок в неколлоидных суспензиях.

==Происхождение==

===Ток в круглом капилляре===
Рассмотрим устойчивый, полностью развитый, изотермический, ползущий поток несжимаемой жидкости через круглый капилляр радиуса R и длины L. Напряжение сдвига стенки получается из перепада давления \Delta P в капилляре (после применения поправки Бэгли для эффектов входа и выхода) как
:
\tau_w = \frac{R \, \Delta P}{2L} \,.


«Кажущаяся скорость сдвига» (предполагая ньютоновский профиль скорости без скольжения) определяется как
:
\dot{\gamma}_a = \frac{4Q}{\pi R^3} = \frac{4 \bar{v{R}

где Q — объемный расход, а \bar{v} = Q/(\pi R^2) — средняя скорость в капилляре.

===Разложение по скорости===
Когда происходит скольжение стенки, общая средняя скорость представляет собой сумму вклада объемной деформации и вклада скольжения. У стенки (r = R) жидкость имеет конечную тангенциальную скорость v_s, а не нулевую. Затем объемный расход разлагается как
:
Q = Q_{\text{объем + Q_{\text{slip = Q_{\text{объем + \pi R^2 v_s \,.


Деление на \pi R^3 / 4:
:
\frac{4Q}{\pi R^3} = \frac{4 Q_{\text{bulk}{\pi R^3} + \frac{4 v_s}{R}

что можно записать как
:
\dot{\gamma}_a = \dot{\gamma}_{a,\text{true(\tau_w) + \frac{4 v_s(\tau_w)}{R} \,.


Здесь \dot{\gamma}_{a,\text{true — кажущаяся скорость сдвига, которая наблюдалась бы в отсутствие скольжения; оно зависит только от напряжения сдвига стенки \tau_w для данной жидкости.

===Уравнение Муни===
Фундаментальное предположение Муни заключается в том, что скорость скольжения является функцией только напряжения сдвига стенки и не зависит от геометрии капилляра:
:
v_s = f(\tau_w)\,.


При этом предположении, при фиксированном значении \tau_w, величина \dot{\gamma}_{a,\text{true является постоянной для капилляров разных радиусов, а кажущаяся скорость сдвига становится '''линейной функцией''' из 1/R:
:
\dot{\gamma}_a = \dot{\gamma}_{a,\text{true(\tau_w) + 4\, v_s(\tau_w) \cdot \frac{1}{R} \,.


Это «уравнение Муни». Если выразить через диаметр капилляра D = 2R:
:
\dot{\gamma}_a = \dot{\gamma}_{a,\text{true(\tau_w) + 8\, v_s(\tau_w) \cdot \frac{1}{D}

наклон \dot{\gamma}_a по сравнению с 1/D при константе \tau_w равен 8 v_s, а точка пересечения с y дает кажущуюся скорость сдвига с поправкой на скольжение \dot{\gamma}_{a,\text{true.

==Единый анализ Калиона==

===Плоское течение Куэтта===
Рассмотрим вязкопластическую жидкость (жидкость Гершеля–Балкли|Гершеля–Балкли) с определяющим уравнением
:
\tau = \tau_y + K \dot{\gamma}^n \quad \text{for} \quad \tau > \tau_y

где \tau_y — предел текучести, K — индекс консистенции, а n — индекс текучести при плоском течении Куэтта между двумя параллельными пластинами, разделенными зазором h. Пусть верхняя пластина движется со скоростью V, а нижняя неподвижна. Пусть на обеих стенках образуются кажущиеся слои скольжения толщиной \delta, состоящие из чистой фазы связующего с вязкостью, описываемой моделью Вильгельма Оствальда | Оствальда – де Вале (степенной закон):
:
\tau = K_b \, \dot{\gamma}_b^{n_b
где K_b и n_b — индекс согласованности и индекс текучести связующего.

Скорость скольжения у каждой стены равна
. :
v_s = \delta \left( \frac{\tau_w}{K_b} \right)^{1/n_b} \,.


Для «ньютоновского связующего» (n_b = 1) это сводится к закону линейного скольжения Клода-Луи Навье | Навье:
:
v_s = \frac{\delta}{K_b} \, \tau_w = \beta \, \tau_w

где \beta = \delta / K_b — «коэффициент скольжения Навье».

===Капиллярный поток===
Для полностью развитого капиллярного течения жидкости Гершеля-Балкли с кажущимися слоями скольжения толщиной \delta \ll R на стенке Калион вывел кажущуюся скорость сдвига как
:
\dot{\gamma}_a = \frac{4Q}{\pi R^3} = \frac{n}{3n+1} \left( \frac{\tau_w - \tau_y}{K} \right)^{1/n} \left[ 1 + \frac{3n+1}{2n+1}\,\xi + \frac{3n+1}{n+1}\,\xi^2 + (3n+1)\,\xi^3 \right] + \frac{4 v_s}{R}

где
:
\xi = \frac{\tau_y}{\tau_w}

— отношение предела текучести к напряжению сдвига стенки, а v_s определяется тем же выражением, что и в случае Куэтта. В пределе \tau_y = 0 (нет предела текучести) и n = 1 (ньютоновский объем) уравнение сводится к
:
\dot{\gamma}_a = \frac{\tau_w}{K} + \frac{4 v_s}{R}

восстанавливая классическое уравнение Муни.

===Прямоугольная щелевая матрица===
Для потока через прямоугольную щель высотой 2H и шириной W \gg 2H аналогичное выражение имеет вид
:
\dot{\gamma}_{a,\text{slit = \frac{6Q}{W(2H)^2} = \dot{\gamma}_{a,\text{true(\tau_w) + \frac{6 v_s(\tau_w)}{2H
так что построение графика зависимости \dot{\gamma}_{a,\text{slit от 1/H при константе \tau_w дает прямую линию с наклоном 3 v_s.

===Согласованность геометрии===
Ключевым результатом анализа Калиона является то, что «коэффициент скольжения Навье», полученный для всех трех геометрий потока (Куэтта, капилляр, щель), идентичен:
:
\beta = \frac{\delta}{K_b} \quad \text{(ньютоновское связующее)}

:
\beta_{\text{gen = \delta \left( \frac{1}{K_b} \right)^{1/n_b} \quad \text{(связующее степенного закона)}

Эта универсальность подтверждает физическую основу механизма кажущегося скольжения и подтверждает, что метод Муни дает независимые от геометрии данные о скольжении, когда его предположения выполняются.

==Модели скорости скольжения==

===Линейное скольжение Навье===
Самая простая модель, предложенная Навье (1827 г.), Navier, C.L.M.H., 1827, «Sur les lois du mouvement des Fluides», Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France, 6, стр. 389–440. предполагает линейную зависимость:
/> :
v_s = \beta \, \tau_w

где \beta — коэффициент скольжения Навье. Для этой модели уравнение Муни принимает вид
:
\dot{\gamma}_a = \dot{\gamma}_{a,\text{true(\tau_w) + \frac{4 \beta \, \tau_w}{R} \,.


===Нелинейное (степенное) скольжение===
Для многих практических систем, особенно с фазами связующего, утончающимися при сдвиге, скорость скольжения подчиняется степенной зависимости: Hatzikiriakos, S.G., 2012, «Скольжение по стенке расплавленных полимеров», Progress in Polymer Science, 37(4), стр. 624–643.
:
v_s = \beta' \, \tau_w^{s_\beta}

где \beta' — коэффициент скольжения, а s_\beta — показатель скольжения. Согласно анализу Калиона, когда связующее подчиняется степенному закону с индексом n_b, показатель степени равен s_\beta = 1/n_b, а коэффициент равен \beta' = \delta / K_b^{1/n_b. Для ньютоновского связующего s_\beta = 1 и восстанавливается линейная модель Навье.

===Общее выражение скорости скольжения Калиона===
Для подвески Гершеля – Балкли со степенным связующим элементом Калион показал, что полное выражение скорости скольжения принимает форму
:
v_s = \delta \left( \frac{\tau_w}{K_b} \right)^{1/n_b
справедливо для всех трех рассматриваемых геометрий (Куэтта, капилляра, щели). Это выражение сводится к:
* '''Промах Навье''': v_s = (\delta/K_b)\,\tau_w, когда n_b = 1
* '''Степенное скольжение''': v_s = (\delta/K_b^{1/n_b})\,\tau_w^{1/n_b}, когда n_b \neq 1

==Дробный расход ==

===Капиллярная геометрия===
Относительный вклад скольжения стенок в общую скорость потока в капилляре количественно определяется с помощью «частичного скольжения скорости потока»:
:
\Phi_s = \frac{Q_{\text{slip}{Q} = \frac{\pi R^2 v_s}{Q} = \frac{4 v_s / R}{\dot{\gamma}_a}


Когда \Phi_s \to 1, поток становится «пробковым потоком»: жидкость движется по существу как твердое тело со скоростью v_s, и вклад объемной деформации исчезает. Этот предел достигается при высоких напряжениях сдвига стенки в расплавах полимеров и при низких скоростях сдвига в вязкопластических суспензиях вблизи предела текучести.

===Зависимость от радиуса капилляра===
Для данной жидкости и напряжения сдвига стенки вклад фракционного скольжения увеличивается по мере уменьшения радиуса капилляра:
:
\Phi_s \propto \frac{v_s}{R \, \dot{\gamma}_a

Это имеет важные последствия для микрофлюидики и узкощелевой реометрии, где скольжение стенок может доминировать в измеренном поведении потока.

==Истинная скорость сдвига стенки==
После определения скорости скольжения по графику Муни-Кальона «истинная скорость сдвига у стенки» (с поправкой как на скольжение, так и на неньютоновские эффекты) получается путем первого применения поправки на скольжение:
:
\dot{\gamma}_{a,\text{true = \dot{\gamma}_a - \frac{4 v_s}{R}

а затем применить поправку Вайсенберга-Рабиновича для учета непараболического профиля скорости: Рабинович, Б., 1929, «Über die Viskosität und Elastizität von Solen», Zeitschrift für Physikalische Chemie A, 145, стр. 1–26.
:
\dot{\gamma}_{\text{true = \frac{3n' + 1}{4n'} \, \dot{\gamma}_{a,\text{true

где
:
n' = \frac{d \ln \tau_w}{d \ln \dot{\gamma}_{a,\text{true}

— локальный наклон скорректированной кривой потока на логарифмическом графике. Для степенной жидкости с индексом текучести n мы имеем n' = n, а поправочный коэффициент становится (3n+1)/(4n).

Тогда истинная сдвиговая вязкость будет
:
\eta(\dot{\gamma}_{\text{true) = \frac{\tau_w}{\dot{\gamma}_{\text{true} \,.


==Определение предела текучести==
Для вязкопластических жидкостей Калион показал, что механизм кажущегося скольжения представляет собой независимый метод определения предела текучести \tau_y. вискозиметры со сжатым потоком», Rheologica Acta, 43, стр. 80–88. При пределе текучести вклад объемной деформации исчезает, и поток становится чистым поршневым течением:
:
\dot{\gamma}_{a,\text{true(\tau_y) = 0 \quad \Rightarrow \quad \dot{\gamma}_a = \frac{4 v_s(\tau_y)}{R}

так что предел текучести соответствует напряжению сдвига стенки, при котором точка пересечения y на графике Муни достигает нуля.

Альтернативно, при построении графика скорости потока с дробным скольжением \Phi_s в зависимости от \tau_w предел текучести представляет собой значение, при котором \Phi_s \до 1.

==Процедура==
Экспериментальная процедура построения графика Муни-Кальона включает следующие этапы:

# Получите кривые потока (графики \tau_w и \tau_w). \dot{\gamma}_a) с использованием набора капиллярных матриц как минимум с тремя разными диаметрами D_1, D_2, D_3, но с одинаковым соотношением L/D.
# Примените «поправку Бэгли» к каждой матрице, чтобы получить истинное напряжение сдвига стенки без потерь давления на входе и выходе.
# При каждом значении константы \tau_w считайте кажущуюся скорость сдвига по каждой кривой потока.
# Постройте '''график Муни-Кальона''': постройте график \dot{\gamma}_a (ордината) против 1/R (абсцисса) для каждой константы \tau_w.
# Если данные в каждом \tau_w лежат на прямой линии, предположение Муни v_s = f(\tau_w) подтверждается. '''Скорость скольжения''' получается из наклона: v_s = \tfrac{1}{4} \times \text{slope. «Кажущаяся скорость сдвига с поправкой на скольжение» представляет собой точку пересечения y.
# Повторите для других значений \tau_w, чтобы определить v_s(\tau_w).
# Примените «поправку Вайсенберга-Рабиновича» к данным с поправкой на скольжение, чтобы получить истинную скорость сдвига стенки и, следовательно, истинную вязкость.

==Обнаружение скольжения стены==
Скольжение стенок обнаруживается путем наблюдения за «расхождением кривых потока», полученных из капилляров различного диаметра. При отсутствии скольжения все кривые потока схлопываются в одну основную кривую, поскольку для данной жидкости
:
\dot{\gamma}_a = f(\tau_w) \quad \text{(независимо от } R \text{)}

При наличии скольжения кривые течения раздвигаются. При заданном \tau_w капилляры меньшего диаметра дают более высокие кажущиеся скорости сдвига, поскольку отношение поверхности к объему 2/R больше и относительный вклад скольжения больше:
:
\dot{\gamma}_a \bigg|_{R_1} > \dot{\gamma}_a \bigg|_{R_2} \quad \text{for} \quad R_1 < R_2 \quad \text{при фиксированном } \tau_w \,.


'''Критическое напряжение сдвига стенки''' \tau_{w,c, при котором кривые потока начинают расходиться, отмечает '''начало скольжения стенки'''.

==Поправки в капиллярную реометрию==
Анализ скольжения Муни-Кальона является одной из трех стандартных поправок, применяемых в капиллярной реометрии. Рекомендуемый порядок: Morrison, F.A., 2001, «Understanding Rheology», Oxford University Press,
# '''Поправка Бэгли''' для потерь давления на входе и выходе:
#:\tau_w = \frac{R(\Delta P - \Delta P_{\text{end)}{2L} = \frac{R \, \Delta P}{2(L + e R)
#:где e — поправочный коэффициент Бэгли (конечная поправка).
# '''Поправка Муни''' для скольжения стены (как указано выше).
# '''Поправка Вейсенберга-Рабиновича''' для неньютоновских профилей скорости:
#:\dot{\gamma}_{\text{true = \frac{3n'+1}{4n'}\,\dot{\gamma}_{a,\text{true

==Ограничения и модификации==

===Ограничения классического анализа Муни===
Несмотря на широкое распространение, первоначальный метод Муни имеет несколько известных ограничений:Leblanc, J.L., 2001, «Скольжение стенок и сжимаемость, подобные эффектам в испытаниях на капиллярном реометре в сложных полимерных системах», Plastics, Rubber and Composites, 30(6), стр. 277–283.Wilms, P., Виринга Дж., Блейденштайн Т. и Колус Р., 2021, «О сложности определения кажущегося скольжения стенок высококонцентрированных суспензий в потоках, вызываемых давлением», Журнал неньютоновской механики жидкости, 298, 104691.

* '''Предположение о скольжении, независимом от геометрии''': Фундаментальное предположение v_s = f(\tau_w) может не сработать, когда существенны миграция частиц, эффекты, зависящие от давления, или механизмы, зависящие от зазора.

* '''Отрицательные скорости скольжения''': для некоторых наполненных соединений и сложных полимерных систем анализ Муни дает физически невозможные (отрицательные) значения v_s, что указывает на нарушение основных предположений.

* '''Скольжение в зависимости от давления''': в длинных капиллярных фильерах гидростатическое давление изменяется вдоль оси фильеры как
::P(z) = P_{\text{inlet - \frac{2\tau_w}{R}\,z
:который может влиять как на вязкость, так и на коэффициент скольжения, создавая очевидную зависимость L/D, которая нарушает предположение Муни.

* '''Миграция частиц, вызванная сдвигом''': В концентрированных суспензиях частицы мигрируют радиально под градиентами сдвига в соответствии с такими моделями, как уравнение Филлипса: Филлипс, Р.Дж., Армстронг, Р.К., Браун, Р.А., Грэм, А.Л. и Эбботт, Дж.Р., 1992, ''Установочное уравнение для концентрированных суспензий, которое учитывает миграция частиц, вызванная сдвигом», Физика жидкостей A, 4 (1), стр. 30–40.
::\frac{\partial \phi}{\partial t} = -\nabla \cdot \left( K_c a^2 \phi \nabla(\dot{\gamma}\phi) + K_\eta a^2 \dot{\gamma} \phi^2 \frac{\nabla \eta}{\eta} \right)
:где a — радиус частицы, K_c и K_\eta — эмпирические константы, а \dot{\gamma — локальная скорость сдвига. Этот переходный процесс изменяет пристеночный состав по длине матрицы, создавая зависящее от длины кажущееся скольжение, которое не может быть уловлено анализом Муни.

===Модификация Ястребского===
Ястржебский (1967)Ястржебский З.Д., 1967, «Входные эффекты и стеночные эффекты в экструзионном реометре во время течения концентрированных суспензий», Industrial & Engineering Chemistry Fundamentals, 6(3), стр. 445–454. предположил, что скорость скольжения обратно пропорционально зависит от капилляра. радиус:
:
v_s = \frac{\beta_J \, \tau_w}{R}

так что кажущаяся скорость сдвига становится
:
\dot{\gamma}_a = \dot{\gamma}_{a,\text{true(\tau_w) + \frac{4\,\beta_J\,\tau_w}{R^2} \,.


В этой формулировке «график Ястржебского» зависимости \dot{\gamma}_a от 1/R^2 при константе \tau_w дает прямые линии. Физическая основа этой модификации обсуждается; это может возникнуть в результате вызванных миграцией изменений пристеночного состава, которые масштабируются с размером зазора.

===Общая степенная зависимость от разрыва===
Обобщение формулировок Муни и Ястржебского предполагает, что
:
v_s = \frac{\beta'' \, g(\tau_w)}{R^{\alpha

где \alpha — подходящая экспонента. Для \alpha = 0 восстанавливается метод Муни; для \alpha = 1 получается модификация Ястребского. Это приводит к
:
\dot{\gamma}_a = \dot{\gamma}_{a,\text{true(\tau_w) + \frac{4\,\beta''\,g(\tau_w)}{R^{\alpha + 1

и соответствующий график зависимости \dot{\gamma}_a от 1/R^{\alpha+1} при константе \tau_w должен быть линейным для правильного выбора \alpha. Однако этим эмпирическим модификациям обычно не хватает строгого теоретического обоснования.

==Приложения==

===Полимер плавится===
Анализ Муни-Кальона обычно применяется к расплавам полимеров, особенно к линейным полимерам с высокой молекулярной массой, таким как LLDPE, HDPE и полипропилен, которые демонстрируют скольжение по стенкам выше критического напряжения сдвига стенки. В таких системах скорость скольжения обычно подчиняется степенному закону в \tau_w, и переход от «слабого скольжения» (частичное распутывание у стенки) к «сильному скольжению» (почти пробковое течение) можно отследить на графике Муни.

===Концентрированные суспензии===
Скольжение по стенкам особенно важно в концентрированных суспензиях твердых частиц (керамические пасты, имитаторы твердого ракетного топлива, фармацевтические составы), где кажущаяся толщина слоя скольжения имеет порядок. Реология, 33(8), стр. 1197–1212.
:
\frac{\delta}{2R_p} \sim 0,04 \text{--} 0,07

для объемных долей \phi в диапазоне 0,46–0,60.

===Вязкопластические материалы===
Для вязкопластических жидкостей, таких как цементные растворы, буровые растворы и средства личной гигиены, анализ Муни-Кальона обеспечивает одновременное определение предела текучести, скорости скольжения и параметров объемной вязкости, что невозможно только на основе однокапиллярной кривой течения.

==Отличие от сюжета Муни-Ривлина==
График Муни-Кальона для анализа скольжения по стенке не следует путать с графиком Муни-Ривлина, используемым в упругости (физике)|эластичности резины. В последнем случае снижается напряжение
:
T^* := \frac{T_{11}^{\text{eng}{\alpha - \alpha^{-2

отображается в зависимости от \beta := 1/\alpha (где \alpha — коэффициент конечной деформации | коэффициент растяжения) для данных одноосного растяжения твердого тела Муни-Ривлина. Линейная аппроксимация дает константы материала C_1 (пересечение) и C_2 (наклон). Оба графика названы в честь одного и того же Мелвина Муни, внесшего вклад как в механику резины, так и в капиллярную реометрию.



==См. также==
* Реометрия капиллярного распада
* Эффект Вайсенберга
* Муни-Ривлин твердый
* Жидкость Гершеля-Балкли
* Неньютоновская жидкость
* Уравнения Навье–Стокса#Граничные условия|Условие скольжения Навье
* Вязкопластичность

Реология
Гидравлическая механика
Неньютоновские жидкости
Физика полимеров
Вязкость

Подробнее: https://en.wikipedia.org/wiki/Mooney%E2 ... alyon_plot