Вывод Латальского-Герстера ⇐ Васина Википедия

[wiki_de]

Вывод Латальского-Герстера был разработан Томашем Латальским и Лукасом Герстером в рамках физического проекта. Они исследовали движение катящегося тела по наклонной плоскости. Проект создавался параллельно с другой группой, занимавшейся так называемым «атомным распадом», анализ которого по сравнению с ним был гораздо проще. Вывод компактно показывает уравнение движения катящегося тела с использованием лагранжевой механики и иллюстрирует сочетание поступательной и вращательной динамики твердого тела под действием силы тяжести.

== Описание системы ==
Рассмотрим однородный цилиндр или колесо, катящееся вниз без скольжения по наклонной плоскости с углом наклона α\alphaα.

Координата x измеряет положение тела на плоскости.

Высота над землей геометрически определяется выражением

h = x/\sin(\alpha)

== Функция Лагранжа ==
Функция Лагранжа системы

\mathcal{L} = T - V

где T обозначает кинетическую, а V - потенциальную энергию.

=== Кинетическая энергия ===
Кинетическая энергия состоит из энергии поступательного движения и энергии вращения:

T = \frac12 m \dot{x}^{2} + \frac12 I \dot{\varphi}^{2}

Для сплошного цилиндра применяется

I = \frac12 м R^{2}

Поскольку тело катится без проскальзывания, выполняется условие качения:

\dot{x} = R \dot{\varphi}

Вставка результатов в:

T = \frac12 м \dot{x}^{2} + \frac14 м \dot{x}^{2} = \frac34 м \dot{x}^{2}

=== Потенциальная энергия ===
Потенциальная энергия определяется высотой цилиндра:

V = m g h = m g x \sin(\alpha)

=== Функция Лагранжа ===
В результате:

\mathcal{L} = \frac34 m \dot{x}^{2} - m g x \sin(\alpha)

== Уравнение Эйлера-Лагранжа ==
Уравнение движения следует из:

\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \mathcal{L{\partial \dot{x \right) - \frac{\partial \mathcal{L{\partial x} = 0

Необходимые производные:

\frac{\partial \mathcal{L{\partial x} = - m g \sin(\alpha)

\frac{\partial \mathcal{L{\partial \dot{x = \frac32 m \dot{x}

Вывод времени:

\frac{d}{dt} \left( \frac32 m \dot{x} \right) = \frac32 m \ddot{x}

Подставляется в уравнение Эйлера-Лагранжа:

\frac32 m \ddot{x} + m g \sin(\alpha) = 0.

\frac32 м \ddot{x} - м г \sin(\alpha) = 0

Решено для ускорения:

\ddot{x} = \frac{2}{3} g \sin(\alpha)

== Результат ==
Вывод Латальского-Герстера приводит к известному ускорению однородного цилиндра, который скатывается по наклонной плоскости без скольжения:

\ddot{x} = \frac{2}{3} g \sin(\alpha)

Это ускорение меньше, чем чистое гравитационное ускорение вдоль плоскости, поскольку часть энергии переходит во вращение тела.

Категория:Физика

Подробнее: https://de.wikipedia.org/wiki/Latalski- ... Herleitung