Расширенный фазовый график ⇐ Васина Википедия

[wiki_en]

В магнитно-резонансной томографии и ядерном магнитном резонансе расширенный фазовый график (EPG) представляет собой математическую структуру, используемую для отслеживания того, как намагниченность развивается в вокселе посредством серии радиочастотных (РЧ) импульсов и градиентов. В то время как традиционное уравнение Блоха | Моделирование Блоха отслеживает отдельные спины в пространственной области, EPG работает в области Фурье.
== Определение ==
В уравнениях Блоха внутри вокселя каждый спин в измерении z может быть описан вектором намагниченности [M_x(z), M_y(z), M_z(z)]^T, где каждый элемент имеет действительное значение.
\begin{align}

&S=\begin{bmatrix} 1 & i & 0 \\ 1 & -i & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}, &\mathbf{m}(z)=\begin{bmatrix} M_+(z) \\ M_-(z) \\ M_z(z) \end{bmatrix}=S \begin{bmatrix} M_x(z) \\ M_y(z) \\ M_z(z) \end{bmatrix}\\

\end{align}

где M_- — комплексное сопряжение M_+. Чтобы выполнить вращение комплексного вектора намагниченности \mathbf{m из-за радиочастотного импульса с углом \alpha и фазой \phi, мы сначала применяем изменение базиса с помощью S^{-1}, затем применяем стандартную декартову матрицу вращения|матрицы вращения R_z(\phi), R_x(\alpha),
\begin{align}

&R_z(\phi)=\begin{bmatrix} \cos \phi & -\sin \phi & 0 \\ \sin \phi & \cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix},\;\;R_x(\alpha)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\
0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\
0 & \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}\\
&\\
&T_\phi (\alpha)=SR_z(\phi)R_x(\alpha)R_z(-\phi)S^{-1}\\
&\\
&T_\phi (\alpha)=\begin{bmatrix} \cos^2 \frac{\alpha}{2} & e^{2i\phi}\sin^2 \frac{\alpha}{2} & -e^{i\phi}\sin \alpha \\
e^{-2i\phi} \sin^2 \frac{\alpha}{2} & \cos^2 \frac{\alpha}{2} & ie^{-i\phi} \sin \alpha\\
-\frac{i}{2}e^{-i\phi} \sin \alpha & \frac{i}{2}e^{i\phi} \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}\\
&\\
&\mathbf{m}^+(z)=T_\phi (\alpha)\mathbf{m}(z)
\end{align}

Где \mathbf{m}^+ обозначает вектор намагниченности после вращения. В представлении EPG мы выполняем разложение Фурье каждого элемента комплексного вектора намагниченности:

\begin{align}

&M_+(z)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} F_+(k)e^{i2\pi kz} \; \Leftrightarrow \; F_+(k)=\int_{-0.5}^{0.5} M_+(z)e^{-i2\pi kz}dz\\

&M_-(z)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} F_-(k)e^{i2\pi kz} \; \Leftrightarrow \; F_-(k)=\int_{-0.5}^{0.5} M_-(z)e^{-i2\pi kz}dz\\

&M_z(z)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} Z(k)e^{i2\pi kz} \; \Leftrightarrow \; Z(k)=\int_{-0.5}^{0.5} M_z(z)e^{-i2\pi kz}dz\\

\end{align}

Если F_+(k)=0, F_-(k)=0 и Z(k)=0, когда k>n или k


Подробнее: https://en.wikipedia.org/wiki/Extended_phase_graph