Поток Тейлора – Макколла ⇐ Васина Википедия

[wiki_en]

'''Поток Тейлора-Макколла''' относится к устойчивому течению за конической ударной волной, прикрепленной к твердому конусу. Поток назван в честь Дж. И. Тейлора и Дж. У. Тейлора, которые описали поток в 1932 году, руководствуясь более ранней работой Теодора фон Кармана.Taylor, G.I., & Maccoll, J.W. (1933). Давление воздуха на конус, движущийся с большой скоростью.—I. Труды Лондонского королевского общества. Серия A, содержащая статьи математического и физического характера, 139 (838), 278–297.Фон Карман, Т., и Мур, Н.Б. (1932). Сопротивление тонких тел, движущихся со сверхзвуковой скоростью, особенно снарядов. Труды Американского общества инженеров-механиков, 54 (2), 303–310.Maccoll, JW (1937). Коническая ударная волна, образованная конусом, движущимся с большой скоростью. Труды Лондонского королевского общества. Серия А-Математические и физические науки, 159(898), 459-472.

==Математическое описание==

Рассмотрим устойчивый сверхзвуковой поток, обтекающий твердый конус с вертикальным углом 2\chi. Формируется коническая ударная волна, вершина которой лежит в вершине твердого конуса. Если бы это была двумерная задача, то есть сверхзвуковое обтекание клина, то набегающий поток при пересечении ударной волны отклонится на угол \chi, так что линии тока за ударной волной будут быть параллельны сторонам клина. Такой простой поворот линий тока невозможен для рассматриваемого здесь трехмерного случая. После прохождения ударной волны линии тока искривляются и лишь асимптотически приближаются к образующим конуса. Искривление линий тока сопровождается постепенным увеличением плотности и уменьшением скорости, помимо тех приращений/уменьшений, которые происходят при ударной волне. Ландау Л.Д. и Лифшиц Э.М. (2013). Механика жидкости: Ландау и Лифшиц: Курс теоретической физики, Том 6 (Том 6). Эльзевир. раздел 123. страницы 432-434.

Направление и величина скорости сразу за ударной волной задаются слабой ветвью ударной поляры. Это также предполагает, что для каждого значения входящего числа Маха M_1 существует максимальное значение \chi_{\mathrm{max, за пределами которого ударная поляра не дает решения, при котором условия, при которых коническая ударная волна отрывается от твердой поверхности. Поток сразу за косой конической ударной волной обычно является сверхзвуковым, хотя, однако, когда \chi близок к \chi_{\mathrm{max, он может быть дозвуковым. Сверхзвуковой поток за ударной волной по мере развития вниз по потоку станет дозвуковым.

Поскольку все падающие линии тока пересекают коническую ударную волну под одним и тем же углом, интенсивность ударной волны постоянна. Это, в частности, означает, что скачок энтропии в ударной волне также постоянен на всем протяжении. В этом случае течение за ударной волной представляет собой Потенциальный поток#Сжимаемый поток|потенциальный поток.
:\varphi=rf(\theta), \quad v_r = f(\theta), \quad v_\theta=f'(\theta), \quad v_\phi=0, \quad p = g( \тета).

Устойчивый потенциальный поток определяется уравнением c^2\nabla\cdot\mathbf v - \mathbf v\cdot (\mathbf v \cdot \nabla)\mathbf v=0,
:(c^2-f'^2) f'' + c^2 \cot\theta f' + (2c^2-f'^2) f = 0, \quad c = c(f^ 2+f'^2).

Уравнение значительно упрощается для политропного газа, для которого c^2 = (\gamma-1)(h_0-v^2/2),
:c^2 = (\gamma-1)h_0 \left(1-\frac{f^2+f'^2}{2h_0}\right),

где \gamma — коэффициент удельной теплоемкости, а h_0 — энтальпия торможения. Вводя эту формулу в общее уравнение Тейлора–Макколла и вводя безразмерную функцию F(\theta) = f(\theta)/v_{\mathrm{max, где v_{\ mathrm{max= \sqrt{2h_0} (скорость потенциального потока при его истечении в вакуум).

Уравнение, управляющее функцией F(\theta) для политропного газа, представляет собой '''уравнение Тейлора-Макколла''' и имеет вид

:\left[\frac{\gamma+1}{2}F'^2-\frac{\gamma-1}{2}(1-F^2)\right]F'' = (\ гамма-1) (1-F^2) F + \frac{\gamma-1}{2}\cot\theta(1-F^2)F' - \gamma F F'^2 - \frac{\ гамма-1}{2}\кроватка\тета F'^3.

Уравнение должно удовлетворять условию F'(\chi)=0 (отсутствие проникновения на твердую поверхность), а также должно соответствовать условиям ударной волны при \chi=\psi< /math>, где \psi — половина угла ударного конуса, который должен быть определен как часть решения для заданного числа Маха набегающего потока M и \гамма. Уравнение Тейлора – Макколла не имеет известного явного решения и интегрируется численно.

==Решение Кармана-Мура==
Когда угол конуса очень мал, поток везде почти параллелен, и в этом случае можно найти точное решение, как показали Теодор фон Карман и Нортон Б. Мур в 1932 году.
:\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial \phi}{\partial r}\right) -\beta^2 \frac {\partial^2 \phi}{\partial x^2}=0, \quad \beta^2 = M^2-1

где M=U/c_\infty — число Маха набегающего потока. Мы ожидаем, что компоненты скорости будут зависеть только от \theta, а это значит, что мы должны иметь \phi = xf(\xi), где \xi = r/x — самоподобная координата. Основное уравнение сводится к

:\xi(1-\beta^2\xi^2) f'' + f'=0.

На поверхности конуса \xi = \tan\chi \approx \chi мы должны иметь v_r/(U+\partial\phi/\partial x)\approx (1/U )\partial\phi/\partial r=\chi и, следовательно, f'=U\chi.

В приближении конус слабой ударной волны определяется выражением x=\beta r. Тривиальное решение для f описывает равномерный поток перед ударным конусом, тогда как нетривиальное решение, удовлетворяющее граничному условию на твердой поверхности за ударной волной, имеет вид

:f(\xi) = U \chi^2 \left(\sqrt{1-\beta^2\xi^2}-\cosh^{-1}\frac{1}{\beta\xi }\справа).

Поэтому мы имеем
:\varphi = Ux +U \chi^2 \left(\sqrt{x^2-\beta^2r^2}-x\cosh^{-1}\frac{x}{\beta r} \право)

демонстрирующая логарифмическую особенность при r\to 0. Компоненты скорости определяются выражением

:v_x = U - U\chi^2 \cosh^{-1}\frac{x}{\beta r}, \quad v_r = \frac{U\chi^2}{r} \sqrt{ x^2-\beta^2 r^2}.

Давление на поверхность конуса p_s оказывается равным p_s -p_\infty = \rho_\infty U^2\chi^2[\ln (2/\beta\chi )-1/2].

*Гидродинамика

Подробнее: https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%E2 ... ccoll_flow