Хорошо организованное пространство ⇐ Васина Википедия

[wiki_en]

В математике «хорошо связанное пространство» — это метрическое пространство, в котором две произвольные точки могут быть соединены цепочкой сколь угодно близких точек. Оно тесно связано с понятием связного пространства|связности.

== Формальное определение ==

Метрическое пространство (X, d) называется хорошо связанным, если для каждого x, y \in X и каждого \varepsilon > 0 существуют n \in \mathbb{N} и z_0, z_1, \dotsc, z_n \in X такие, что z_0= x, z_n = y и для каждого j \in \{1, \dotsc, n - 1\ имеется

d (z_{j - 1}, z_j) < \varepsilon
.
Множество A \subseteq X является хорошо связанным, если оно является хорошо связанным как метрическое пространство с расстоянием d, ограниченным A.

== Свойства ==

Множество A \subseteq X является хорошо связанным тогда и только тогда, когда его замыкание (топология)|топологическое замыкание является хорошо связанным.

Если X является хорошо связанным и если f \colon X \to Y равномерно непрерывно, то множество f (X) является хорошо связанным.

== Характеристики ==

Следующие свойства эквивалентны:
# пробел X хорошо связан;
# if A \subseteq X и \emptyset \ne A \ne X, then \inf \{ d (x, y) : x \in A \text{ and } y \in X \setminus A\} = 0;
# если f \colon X \to \{0, 1\ равномерно непрерывен, то f является константой.

== Связь со связностью ==

Любой хорошо связанный набор X является связным пространством | связным
Обратное в общем случае неверно:
* набор рациональных чисел \mathbb{Q} хорошо связан, но не связан * набор
\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 y^2 = xy\}
хорошо связан, но не связан
Есть некоторые ситуации, когда хорошая цепочка подразумевает связанность:
* каждый компактный и хорошо связанный набор подключен * если A \subseteq \mathbb{R} замкнут и хорошо связан, то A подключен.

Метрическая геометрия

Подробнее: https://en.wikipedia.org/wiki/Well-chained_space