Обобщенная мера ⇐ Васина Википедия

[wiki_de]

В анализе «обобщенная мера» — это распределение (математика)|распределительное обобщение понятия меры (математика)|мера из теории меры. Обобщенные меры определяются не в системах множеств (например, σ-алгебра|σ-алгебры), а в функциональном пространстве|функциональных пространствах, что означает, что, строго говоря, они не представляют собой прямого обобщения. Скорее, это обобщение в смысле обобщенных функций.

Обобщенные меры используются в бесконечномерном анализе и стохастике, а также в теоретической физике, где, в частности, интеграл по путям определяется с использованием обобщенных мер как линейный непрерывный функционал в пространстве пробных функций. Ричард Фейнман ввел интеграл по путям как интеграл по обобщенным мерам Лебега | Меры Лебега, это частные случаи обобщенной меры.
Обобщенные меры рассматриваются, в частности, в теории дифференцируемых мер.
== Обобщенная мера ==
Пусть T — локально выпуклое пространство, а S(T) — локально выпуклое пространство (над полем) функций из T в другое векторное пространство V
:S(T)=\{\varphi : T\to V\

'''Обобщенная мера''' на T — это непрерывный линейный функционал
:\nu: S(T)\to \mathbb {K},\qquad \mathbb {K}\in \{\mathbb {C},\; \mathbb{R}\.
Значение \nu(\varphi) для \varphi \in S(T) называется ''интегралом от \varphi относительно (обобщенной меры) \nu''.
Пусть G — локально выпуклое пространство, тогда оно называется непрерывным линейным отображением
:\nu:S(T)\to G.
'''обобщенная мера со значением G'''.

=== Дифференцируемость меры ===
Пусть T_1 \subset T — локально выпуклое подпространство, т. е. T_1 — локально выпуклое векторное пространство, а каноническое вложение T_1 \hookrightarrow T непрерывно. Пусть T_1' — топологическое двойственное пространство к T_1 с подходящей топологией.

Мы называем обобщенную меру \nu на T ''дифференцируемой по T_1'', если она является обобщенной мерой со значением T_1
:\nu':S(T)\to \mathbb{K}
который мы называем «выводом \nu вдоль T_1», такой, что для каждого h \in T_1 и каждой функции \varphi \in S(T)
:\nu\left(\varphi'(\cdot)h\right)=-\nu'h(\varphi(\cdot))
применяется.

Для векторного поля k:T \to T производная от \nu вдоль k является обобщенной мерой
:\nu':S(T)\to \mathbb{K},
определено
:\nu'k(\varphi) = -\nu(\varphi'(\cdot)k(\cdot)).

== Приложение ==
=== Квантовая теория поля ===
В квантовой теории поля интеграл по путям Фейнмана используется как интеграл по отношению к обобщенным мерам по функциональным или фазовым пространствам, что позволяет описывать динамику квантованных полей во всех возможных конфигурациях полей. Эта концепция тесно связана с гамильтоновым вторым квантованием и позволяет математически последовательно рассматривать бесконечномерные гамильтоновые системы.



Категория: Функциональный анализ
Категория: Теория распределения
Категория: Квантовая теория поля
Категория: Стохастика

Подробнее: https://de.wikipedia.org/wiki/Verallgem ... s_Ma%C3%9F