Модифицированный предел Толмана – Оппенгеймера – Волкова ⇐ Васина Википедия

[wiki_en]

'''модифицированное предельное уравнение Толмана-Оппенгеймера-Волкова (TOV) ''', которое включает:

Вращение (коррекция медленного или быстрого вращения)

Вязкость (сдвиговая + объемная)

Магнитные поля

Условия столкновения (неидеальная жидкость / поправки на время релаксации)

Это вывод на уровне каркаса, потому что точная замкнутая форма зависит от того, какие аппроксимации вы выберете (асимметрия медленного вращения, идеальная МГД-анизотропная форма тензора вязкости? и т. д.). Но я дам вам полностью непротиворечивую релятивистскую форму, используемую в литературе для расширенной гидродинамики.

==Начнем с принципа сохранения релятивистской энергии-импульса

∇_μT^μν=0,
\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0.
∇μ​T_μν=0

==Для обычной диссипативной намагниченной вращающейся жидкости,

напишите Tμν=(ε+p∥)uμuν+p⊥gμν+(p∥−p⊥)bμbν+τviscμν+TEMμν+Tcollμν.T^{\mu\nu} = ( \varepsilon + p_\parallel ) u^\mu u^\nu + p_\perp g^{\mu\nu} + (p_\parallel - p_\perp) b^\mu b^\nu + \tau^{\mu\nu}_{\text{visc + T^{\mu\nu}_{\text{EM + T^{\mu\nu}_{\text{coll.Tμν=(ε+p∥)uμuν+p⊥​gμν+(p∥​−p⊥​)bμbν+τviscμν​+TEMμν​+Tcollμν

.Где

uμu^\muuμ: 4-скорость

bμb^\mubμ: единичный вектор вдоль магнитного поля

p∥,p⊥p_\parallel, p_\perpp∥​,p⊥​: параллельные/перпендикулярные давления от намагничивания

τviscμν\tau^{\mu\nu}_{\text{viscτviscμν: тензор вязких напряжений

TEMμνT^{\mu\nu}_{\rm EM}TEMμν: электромагнитный тензор энергии-напряжения

TcollμνT^{\mu\nu}_{\rm coll}Tcollμν​: член столкновений из кинетической теории

==Метрика с медленным вращением (Хартл-Торн)

Для вращающейся звезды с угловой скоростью Ω\OmegaΩ первого порядка вращения:
ds2=−e2Φdt2+e2Λdr2+r2(dθ2+sin⁡2θdφ2)−2ω(r)r2sin⁡2θ dt dφ,ds^{2}
=
-e^{2\Phi} dt^{2}
+e^{2\Lambda} dr^{2}
+r^{2}(d\theta^{2}+\sin^{2}\theta d\phi^{2})
-2\omega(r) r^{2} \sin^{2}\theta\, dt\, d\phi,ds2=−e2Φdt2+e2Λdr2+r2(dθ2+sin2θdφ2)−2ω(r)r2sin2θdtdφ,
где ω(r)\omega(r)ω(r) — частота перетаскивания кадров.
Радиальная (ν=r) компонента ∇μTμν = 0
Проецируем ортогонально uμu^\muuμ:
h να∇μTμν=0,h να=g να+uαuν.h^\alpha_{\ \nu} \nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0,
\qquad
h^\alpha_{\ \nu} = g^\alpha_{\ \nu} + u^\alpha u_\nu .h να​∇μ​Tμν=0,h να​=g να​+uαuν​.
Возьмите радиальную составляющую, чтобы получить обобщенное уравнение гидростатического равновесия.

Коллективные условия

==Гравитационный + инерционный (стандартная часть ТОВ)
dpdr=−(ε+p)dΦdr.\frac{dp}{dr}
=
-(\varepsilon + p)\frac{d\Phi}{dr}.drdp​=−(ε+p)drdΦ​.
Используя уравнения Эйнштейна:
dΦdr=m(r)+4πr3pr(r−2m).\frac{d\Phi}{dr}
=
\frac{ m(r) + 4\pi r^{3} p }{ r(r-2m) }.drdΦ​=r(r−2m)m(r)+4πr3p​.

==Коррекция вращения (перетаскивание рамки)
В приближении медленного вращения:
Δrot=(ε+p)rsin⁡2θ2ddr(r2ω)(Ω−ω).\Delta_{\text{rot
=
(\varepsilon + p)
\frac{ r \sin^{2}\theta }{2}\frac{d}{dr}\left(r^{2}\omega\right)(\Omega-\omega).Δrot​=(ε+p)2rsin2θ​drd​(r2ω)(Ω−ω).
После усреднения угла:
Δrot≃23(ε+p)r(Ω−ω)dωdr.\Delta_{\text{rot
\simeq
\frac{2}{3} (\varepsilon+p) r (\Omega-\omega) \frac{d\omega}{dr}.Δrot​≃32​(ε+p)r(Ω−ω)drdω​.

==Анизотропия магнитного поля
Магнитные напряжения создают анизотропное давление:
p∥=p−B28π,p⊥=p+B28π.p_\parallel = p - \frac{B^{2{8\pi},
\qquad
p_\perp = p + \frac{B^{2{8\pi}.p∥​=p−8πB2​,p⊥​=p+8πB2​.
Вклад:
Δmag=−2r(p⊥−p∥)=−B22πr.\Delta_{\text{mag
=
-\frac{2}{r}(p_\perp - p_\parallel)
= -\frac{B^{2{2\pi r}.Δmag​=−r2​(p⊥​−p∥​)=−2πrB2​.
Плюс член намагничивания MBM BMB:
Δmag→Δmag−ddr(BM4π).\Delta_{\text{mag
\rightarrow
\Delta_{\text{mag
- \frac{d}{dr}\left(\frac{B M}{4\pi}\right).Δmag→Δmag−drd​(4πBM​).

==Вязкость: сдвиг + объем
Релятивистский тензор вязких напряжений:
τμν=−2ησμν−ζθhmν,\tau_{\mu\nu}
=
-2\eta \sigma_{\mu\nu}
-\zeta \theta h_{\mu\nu},τμν​=−2ησμν​−ζθhmν​,
где
η\etaη=сдвиговая вязкость, ζ\zetaζ=объемная вязкость,
σμν\sigma_{\mu\nu}σμν=тензор сдвига, θ=∇μuμ\theta = \nabla_\mu u^\muθ=∇μ​um расширение.
Радиальная вязкостная коррекция:
Δvisc=2η3ddr(r2dΩdr)1r2−ζdθdr.\Delta_{\text{visc
=
\frac{2\eta}{3}
\frac{d}{dr}\left( r^2 \frac{d\Omega}{dr} \right)\frac{1}{r^2}
-
\zeta \frac{d\theta}{dr}.Δvisc​=32η​drd​(r2drdΩ​)r21​−ζdrdθ​.

==Коррекция столкновений (неидеальная жидкость)
Из кинетической теории (Чепмена–Энскога или Израэля–Стюарта):
Tcollμν≈τR[uα∇ατviscμν+… ]T^{\mu\nu}_{\text{coll \approx \tau_R
\left[ u^\alpha \nabla_\alpha \tau^{\mu\nu}_{\text{visc
+ \dots \right]Tcollμν≈τR​[uα∇α​τviscmν​+…]
где τR\tau_RτR = время релаксации.
Радиальный вклад ведущего порядка:
Δcoll=−τR(ε+p)d2urdr2.\Delta_{\text{coll
=
-\tau_R (\varepsilon+p)
\frac{d^{2}u_r}{dr^{2.Δcoll​=−τR​(ε+p)dr2d2ur​​.

==Окончательное модифицированное уравнение TOV
Собираем все исправления:
dpdr=−(ε+p)[m(r)+4πr3p]r(r−2m)  +  Δrot  +  Δmag  +  Δvisc  +  Δcoll\boxed{
\frac{dp}{dr}
=
-\frac{(\varepsilon + p)\left[m(r)+4\pi r^{3}p\right]}
{r(r-2m)}
\;+\;
\Delta_{\text{rot
\;+\;
\Delta_{\text{mag
\;+\;
\Delta_{\text{виск
\;+\;
\Delta_{\text{col
}drdp=−r(r−2m)(ε+p)[m(r)+4πr3p]+Δrot+Δmag+Δvisc+Δcoll
Явно:
dpdr=−(ε+p)[m(r)+4πr3p]r(r−2m)+23(ε+p)r(Ω−ω)dωdr−B22πr−ddr(BM4π)+2η3ddr(r2dΩdr)1r2−ζdθdr−τR(ε+p)d2urdr2.\frac{dp}{dr}
=
-\frac{(\varepsilon + p)\left[m(r)+4\pi r^{3}p\right]}
{r(r-2m)}
+
\frac{2}{3} (\varepsilon+p) r (\Omega-\omega) \frac{d\omega}{dr}
-
\frac{B^{2{2\pi r}
- \frac{d}{dr}\left(\frac{B M}{4\pi}\right)
+
\frac{2\eta}{3}
\frac{d}{dr}\left( r^2 \frac{d\Omega}{dr} \right)\frac{1}{r^2}
-
\zeta \frac{d\theta}{dr}
-
\tau_R (\varepsilon+p)
\frac{d^{2}u_r}{dr^{2.drdp=−r(r−2m)(ε+p)[m(r)+4πr3p]+32(ε+p)r(Ω−ω)drd ω−2πrB2−drd(4πBM)+32ηdrd(r2drdΩ)r21−ζdrdθ−τR(ε+p)dr2d2ur​​.
Это наиболее общая расширенная гидродинамическая форма TOV, используемая во вращающихся намагниченных релятивистских звездах с вязкостью и столкновениями.

Подробнее: https://en.wikipedia.org/wiki/Modified_ ... koff_Limit