Высокомерная модель Ising ⇐ Васина Википедия

[wiki_en]

Модель Ising - это прототипная модель в статистической физике. Модель состоит из дискретных переменных, которые представляют магнитные дипольные моменты атомных «спинов», которые могут быть в одном из двух состояний (+1 или -1). Спины расположены на графике, обычно решетчатую (где локальная структура периодически повторяется во всех направлениях), что позволяет каждому вращению взаимодействовать со своими соседями. Модель этого типа может быть определена на решетках в любом количестве измерений. Методы, которые применимы к небольшим размерам, не всегда полезны для больших размеров, и наоборот.

В любом измерении модель ISING может быть продуктивно описана локально изменяющейся средней теорией поля | Среднее поле. Поле определяется как среднее значение спина в большой области, но не настолько большое, чтобы включить всю систему. Поле все еще имеет медленные вариации от точки к точке, по мере перемещения в среднем объем. Эти колебания в полевых условиях описаны теорией поля континуума в пределе бесконечной системы. Точность этого приближения улучшается по мере того, как измерение становится больше. Более глубокое понимание того, как модель ISING ведет себя, выходя за рамки приближений среднего поля, может быть достигнуто с помощью методов группы перенормализации.

== Локальное поле ==

Поле «h» определяется как длинные компоненты Фурье с переменной спиновой переменной, в том же пределе, что длина волн длинные. Существует много способов преодолеть среднее значение длиной волны, в зависимости от деталей того, как высокие длины волны отрезаны. Детали не слишком важны, поскольку цель состоит в том, чтобы найти статистику «H», а не вращения. После того, как корреляции в «H» известны, корреляции на большие расстояния между спинами будут пропорциональны корреляциям на дальние расстояния в '' h '.

Для любого значения медленно изменяющегося поля '' H '' 'Free Energy (Log-повышение) является локальной аналитической функцией «H» и ее градиентов. Свободная энергия '' f '' '(' 'h' '') определяется как сумма по всем конфигурациям Ising, которые согласуются с длинным полем длины волны. Поскольку «H» - это грубое описание, существует множество конфигураций Ising, соответствующих каждому значению '' H '', при условии, что для матча не требуется не так уж и слишком много точности.

Поскольку допустимый диапазон значений спина в любой области зависит только от значений «H» в пределах одного усреднного объема от этой области, вклад свободной энергии из каждой области зависит только от значения «H» там и в соседних регионах. Таким образом, «F» - это сумма во всех регионах местного вклада, что зависит только от «H» и его производных.

Симметрией в '' h '', только даже силы вносят свой вклад. С помощью симметрии отражения на квадратной решетке только даже силы градиентов вносят свой вклад. Записано первые несколько терминов в свободной энергии:

\ beta f = \ int d^dx \ left [a h^2 + \ sum_ {i = 1}^d z_i (\ partial_i h)^2 + \ lambda H^4 + \ cdots \ right]. < /math>

На квадратной решетке симметрия гарантирует, что коэффициенты '' z i '' производных терминов все равны. Но даже для анизотропной модели Ising, где 'z i ' '
На любой решетке, производной термин
z_ {ij} \, \ partial_i H \, \ partial_j H < /math>
является положительной определенной квадратичной формой и может использоваться для «определения» метрики для пространства. Таким образом, любая инвариантная модель перевода является вращательной инвариантной на больших расстояниях, в координатах, которые делают '' z ij '' = Δ '' ij '' . Вращательная симметрия возникает спонтанно на больших расстояниях только потому, что не так много условий низкого порядка. В многокритических точках более высокого порядка эта случайная симметрия теряется.

Поскольку β'F '' является функцией медленно пространственно изменяющегося поля, вероятность любой конфигурации поля составляет (пропуская термины высшего порядка):

p (h) \ propto e^{ - \ int d^dx \ left [ah^2 + z | \ nabla h |^2 + \ lambda h^4 \ right]} = e^{ - \ beta f [h]}. < /math>

Статистическое среднее из любого продукта терминов «H» равна:

\ langle H (x_1) h (x_2) \ cdots h (x_n) \ rangle = {\ int dh \, e^{ - \ int d^dx \ left [a h^2 + z | \ nabla h |^2 + \ rambda h^4 \ right]} h (x_1) h (x_2) \ x_ h__ \ h__ \ h^h^h^4 \. e^{ - \ int d^dx \ left [a h^2 + z | \ nabla h |^2 + \ lambda h^4 \ right]}}. < /math>

Знаменатель в этом выражении называется «функцией разделения»: z = \ int dh \, e^{ - \ int d^dx \ Left [a h^2 + z | \ nabla h |^2 + \ lambda h^4 \ right]} , а интеграл по всем возможным значениям - является статистическим путем. Он интегрирует exp (β''f '') по всем значениям '' H '' ', по всем длинным длинным компонентам Фурье Фурье спинов. «F» - это «евклидовый» лагранжиан для поля '' h ''. Это похоже на лагранжиан в скалярном поле в квантовой теории поля, разница в том, что все производные термины входят с положительным знаком, и нет общего фактора «I» (таким образом, «евклидова»).

== Размерный анализ ==

Форма «f» может быть использована для прогнозирования, какие термины наиболее важны при размерном анализе. Размерный анализ не совсем прост, потому что масштабирование «H» необходимо определить.

В общем случае выбрать закон масштабирования для «H» - прост, так как единственный термин, который способствует, является первым,

f = \ int d^dx \, a h^2. < /math>

Этот термин является наиболее значимым, но он дает тривиальное поведение. Эта форма свободной энергии является ультралокальной, что означает, что она является суммой независимого вклада из каждой точки. Это похоже на спиновые потоки в одномерной модели Ising. Каждое значение '' h '' в любой точке полностью колеблется независимо от значения в любой другой точке.

Масштаб поля может быть пересмотрена, чтобы поглощать коэффициент '' '' '', и тогда ясно, что «A» только определяет общую шкалу колебаний. Ультралокальная модель описывает высокое температурное поведение длиной длины волны, поскольку в этом пределе средние значения колебаний не зависят от точки к точке.

Чтобы найти критическую точку, снимите температуру. Когда температура снижается, колебания в '' h '' выходят на повышение, потому что колебания более коррелируют. Это означает, что среднее из большого количества спинов не становится небольшим так же быстро, как если бы они были некоррелированы, потому что они, как правило, одинаковы. Это соответствует уменьшению '' A '' в системе единиц, где «H» не поглощает '' '' '. Фазовый переход может произойти только тогда, когда вносят супирующие термины в «f», но, поскольку первый термин доминирует на больших расстояниях, коэффициент '' '' '' 'должен быть настроен на ноль. Это расположение критической точки:

f = \ int d^dx \ left [t h^2 + \ lambda h^4 + z (\ nabla h)^2 \ right], < /math>

где '' t '' - это параметр, который проходит через ноль при переходе.

Поскольку «T» исчезает, исправление масштаба поля, используя этот термин, заставляет другие термины взорваться. Как только '' t '' мал, масштаб поля может быть установлена ​​либо для исправления коэффициента термина '' h '' 4 или (∇'''h '' ') 2 до 1.

== Магнетизация ==

Чтобы найти намагниченность, установите масштабирование «H», чтобы λ одно. Теперь поле «H» имеет размер - '' d ''/4, так что '' h '' 4 '' d d x '' 'безразмерный, а' 'z' 'имеет размер 2 & nbsp; - & nbsp;' 'd' '/2. В этом масштабировании термин градиента важен только на длинных расстояниях для '' d '' ≤ 4. Выше четырех измерений, на длинных длинах волны, общая намагниченность влияет только ультралокальные термины.

Есть одна тонкая точка. Поле «H» статистически колеблется, а колебания могут сдвинуть нулевую точку «t». Чтобы увидеть, как, рассмотрим '' h '' 4 < /sup> разделить следующим образом:

h (x)^4 = - \ langle h (x)^2 \ rangle^2 + 2 \ langle h (x)^2 \ rangle h (x)^2 + \ left (h (x)^2 - \ langle h (x)^2 \ rangle \ right)^2 < /math>

Первый термин является постоянным вкладом в свободную энергию и может быть проигнорирован. Второй термин представляет собой подсчет конечного типа | конечный сдвиг в '' t ''. Третий член - это количество, которое масштабируется до нуля на больших расстояниях. Это означает, что при анализе масштабирования «T» путем размерного анализа именно изменяемое «T» важно. Исторически это было очень запутанным, потому что сдвиг в «T» на любой конечной '' λ '' конечен, но около перехода '' T '' 'очень мал. Фракционное изменение в '' t '' очень большое, и в подразделениях, где «t '» фиксирован, сдвиг выглядит бесконечно.

Намагничение соответствует минимуму свободной энергии, и это аналитическое уравнение. С точки зрения смещенного '' t '',

{\ Partial \ Over \ Partial H} \ Left (t h^2 + \ lambda H^4 \ right) = 2t H + 4 \ lambda H^3 = 0 < /math>

Для '' t ''

Для '' r '' 'Маленький по сравнению с \ sqrt {t} < /math> решение расходится точно так же, как в критическом случае, но поведение на дальние расстояния изменяется.

Чтобы увидеть, как удобно представлять функцию двух точек как интегральную, представленную Швингером в контексте теории квантовых поля:

g (x) = \ int d \ tau {1 \ over \ left (\ sqrt {2 \ pi \ tau} \ right)^d} e^{ - {x^2 \ over 4 \ tau} - t \ tau} < /math>

Это «g», так как преобразование этого интеграла Фурье легко. Каждый фиксированный вклад τ - гауссоан в «x», чье преобразование Фурье является еще одной гауссовой взаимной шириной в '' k ''.

g (k) = \ int d \ tau e^{ - (k^2 - t) \ tau} = {1 \ over k^2 - t} < /math>

Это обратно оператора ∇ 2 & nbsp;-& nbsp; '' t '' '' 'k' '-пространство, действующее на функцию устройства в «K' '»-пространство, которое представляет собой преобразование Фурье дельты-источника, локализованного в происхождении. Таким образом, он удовлетворяет тем же уравнению, что и «g» с теми же граничными условиями, которые определяют силу дивергенции при 0.

Интерпретация интегрального представления по поводу «правильного времени» τ заключается в том, что двухточечная функция - это сумма по всем случайным путям ходьбы, которые связывают позицию 0 с положением «x» со временем τ. Плотность этих путей в момент времени τ в положении '' x '' является гауссовой, но случайные ходунки исчезают с устойчивой скоростью, пропорциональной '' t '', так что гауссов в момент времени τ уменьшается в высоту с помощью фактора, который неуклонно уменьшается экспоненциально. В контексте теории квантовой поля это пути релятивистически локализованного кванта в формализме, который следует по путям отдельных частиц. В чистом статистическом контексте эти пути по -прежнему появляются по математическому соответствию с квантовыми полями, но их интерпретация менее непосредственно физическая.

Интегральное представление немедленно показывает, что «g» ('' r '') положительно, поскольку оно представлено как взвешенная сумма положительных гауссов. Он также дает скорость распада в большом r, поскольку правильное время для случайной прогулки до достижения позиции τ равен r 2 , а в это время высота гауссов распадается e^{-t \ tau} = e^{-tr^2} . Коэффициент распада, подходящий для позиции '' r '', поэтому e^{-\ sqrt t r} < /math>.

Эвристическое приближение для '' g '' '(' 'r' ''):

g (r) \ optx {e^{-\ sqrt t r} \ over r^{d-2 < /math>

Это не точная форма, за исключением трех измерений, где взаимодействие между путями становятся важными. Точные формы в высоких измерениях являются вариантами функций Бесселя.

== Полимерная интерпретация Symanzik ==

Интерпретация корреляций как кванта с фиксированным размером, путешествующая вдоль случайных прогулок, дает способ понимания, почему критическое измерение взаимодействия «h» 4 составляет 4. термин «h» 4 может рассматриваться как квадрат плотности случайных ходоков в любой точке. Чтобы такой термин изменил функции корреляции конечного порядка, которые вводят только несколько новых случайных прогулок в колеблющуюся среду, новые пути должны пересечь. В противном случае квадрат плотности просто пропорциональна плотности и только сдвигает коэффициент '' h '' 2 на постоянную. Но вероятность пересечения случайных прогулок зависит от измерения, а случайные прогулки в измерении выше 4 не пересекаются.

Фрактальное размер обычного случайного ходьбы составляет 2. Количество шариков размера ε, необходимое для покрытия увеличения пути как ε -2 . Два объекта фрактального измерения 2 будут пересекаться с разумной вероятностью только в пространстве измерения 4 или менее, то же условие, что и для общей пары плоскостей. Курт Симанзик утверждал, что это подразумевает, что критические колебания ISING в измерениях выше 4 должны быть описаны свободным полем. Этот аргумент в конечном итоге стал математическим доказательством.

== 4 & nbsp; - & nbsp; '' '' '' Размеры - Группа перенормирования ==

Модель Ising в четырех измерениях описывается колеблющимся полем, но теперь колебания взаимодействуют. В представлении полимера пересечения случайных прогулок возможны незначительно. В продолжении квантового поля Quanta взаимодействует.

Отрицательный логарифм вероятности любой конфигурации поля 'H' ' - термодинамическая свободная энергия | Функция свободной энергии

f = \ int d^4 x \ left [{z \ over 2} | \ nabla h |^2 + {t \ over 2} h^2 + {\ lambda \ over 4!} h^4 \ right] \, < /math>

Численные факторы существуют, чтобы упростить уравнения движения. Цель состоит в том, чтобы понять статистические колебания. Как и любой другой неквадратический интеграл пути, корреляционные функции имеют диаграмму Feynman | Расширение Feynman в виде частиц, движущихся вдоль случайных прогулок, расщепления и воссоединения на вершине. Сила взаимодействия параметризована классической безразмерной величиной λ.

Хотя размерный анализ показывает, что как λ, так и «Z» безразмер, это вводит в заблуждение. Длинные статистические колебания длиной волны не являются инвариантными и становятся инвариантными масштабируемыми, только когда прочность взаимодействия исчезает.

Причина в том, что существует отсечка, используемая для определения «H», и отсечение определяет самую короткую длину волны. Колебания «H» на длине волны вблизи отсечения могут повлиять на длинные колебания длины волны. Если система масштабируется вместе с отсечкой, параметры будут масштабироваться путем размерного анализа, но затем сравнение параметров не сравнивает поведение, потому что у изменяемой системы больше режимов. Если система пересекается таким образом, что сокращение короткой длины волны остается фиксированным, длинноволновые колебания изменяются.

=== Вильсон Ренормализация ===

Быстрый эвристический способ изучения масштабирования состоит в том, чтобы отрезать волновые волны «H» в точке λ. Фурье моды '' h '' с волновыми средствами, превышающими λ, не позволяют колебаться. Изменение длины, которая делает всю систему меньше увеличивает все волновые, и перемещает некоторые колебания над отсечкой.

Чтобы восстановить старое отсечение, выполните частичную интеграцию над всеми волнообразными, которые раньше были запрещены, но теперь они колеблются. На диаграммах Фейнмана, интеграция в колеблющийся режим в Wavenumber '' K '' связывает линии, несущие импульс '' '' '' в функции корреляции в парах, с коэффициентом обратного пропагатора.

При пересечении, когда система сокращается в коэффициенте (1+'' b ''), коэффициент '' T '' увеличивается на коэффициент (1+'' b '' ') 2 по анализу размерного. Изменение в '' t '' для бесконечно -максимального '' b '' '2''bt' '. Два других коэффициента безразмерны и вообще не меняются.

Эффект самого низкого порядка интеграции может быть рассчитана по уравнениям движения:

\ nabla^2 h + t h = - {\ lambda \ over 6} h^3. < /math>

Это уравнение является идентичностью внутри любой корреляционной функции вдали от других вставков. После интеграции мод с λ

который составляет 0,333 в 3 измерениях (ε = 1) и .166 в 2 измерениях (ε = 2). Это не так далеко от измеренного показателя .308 и двухмерного показателя .125.

== Бесконечные размеры - среднее поле ==

Поведение модели Ising на полностью связанном графике может быть полностью понято с помощью теории среднего поля. Этот тип описания подходит для очень высоких квадратных решетков, потому что тогда каждый сайт имеет очень большое количество соседей.

Идея состоит в том, что если каждое вращение подключено к большому количеству спинов, важно только среднее отношение + спины к - спинам, поскольку колебания об этом среднем значении будут небольшими. Среднее поле «H» - это средняя доля спинов, которые + минус средняя доля спинов, которые являются & nbsp; -. Энергетическая стоимость переворачивания одного спина в среднем поле «H» составляет ± 2''jnh ''. Удобно переопределить «j», чтобы поглотить фактор '' n '', так что предел '' n '' → ∞ гладкий. С точки зрения нового '' J '', стоимость энергии для переворачивания составляет ± 2''jh ''.

Эта стоимость энергии дает соотношение вероятности '' p '', что спин - + к вероятности 1 - '' p '', что спин является & nbsp; -. Это соотношение является фактором Больцмана:
{P \ Over 1-P} = E^{2 \ Beta JH} < /math>

Так что
p = {1 \ over 1 + e^{-2 \ beta JH}} < /math>

Среднее значение спина определяется путем усреднения 1 и -1 с весами '' p '' и 1 & nbsp; Но это среднее значение одинаково для всех вращений и, следовательно, равно '' h ''.
h = 2p - 1 = {1 - e^{ - 2 \ beta jh} \ over 1 + e^{ - 2 \ beta jh = \ tanh (\ beta jh) < /math>

Решения этого уравнения являются возможными последовательными средними полями. Для β''j '' больше.

Начиная с модели Ising и повторить эту итерацию в конечном итоге меняет все муфты. Когда температура выше критической температуры, муфты будут сходиться к нулю, поскольку спины на больших расстояниях некоррелированы. Но когда температура будет критической, будут ненулевые коэффициенты, связывающие спины при всех порядках. Поток может быть аппроксимирован только с учетом первых нескольких терминов. Этот усеченный поток приведет к лучшему и лучшему приближению к критическим показателям, когда будет включено больше условий.

Самое простое приближение - сохранить только обычный термин «j» и отказаться от всего остального. Это будет генерировать поток в «J», аналогичный потоку в «T» в фиксированной точке λ в расширении ε.

Чтобы найти изменение в «J», рассмотрите четырех соседей странного сайта. Это единственные спины, которые взаимодействуют с ним. Мультипликативный вклад в функцию разделения от суммы по двум значениям спина на нечетном сайте:
e^{j (n_+ - n_-)}+ e^{j (n_- - n_+)} = 2 \ cosh (j [n_+ - n _-]) < /math>

где '' n '' ± - это количество соседей, которые составляют ±. Игнорируя фактор 2, вклад свободной энергии с этого нечетного сайта:
f = \ log (\ cosh [j (n_+ - n _-)]). < /math>

Это включает в себя ближайший сосед и ближайший к ближнему соседскому взаимодействию, как и ожидалось, но также и четырехпиновое взаимодействие, которое должно быть отброшено. Чтобы усечь до ближайшего соседского взаимодействия, учитывайте, что разница в энергии между всеми вращающимися одинаковыми и равными числами + и - IS:
\ delta f = \ ln (\ cosh [4j]). < /math>

Из ближайших соседних муфт разница в энергии между всеми спинами равными и шахматными спинами составляет 8''j ''. Разница в энергии между всеми спинами, равными и без стремительного, но чистого нулевого спина составляет 4''j ''. Игнорируя четырехспиновые взаимодействия, разумное усечение-это среднее из этих двух энергий или 6''j ''. Поскольку каждая ссылка будет способствовать двум нечетным спинам, правильное значение для сравнения с предыдущей - это половина, что:
3j '= \ ln (\ cosh [4J]). < /math>

Для маленького «J» это быстро течет до нулевой связи. Большой поток '' J '' к большим муфтам.
Варианты этого метода дают хорошие численные приближения для критических показателей, когда многие термины включены, как в два, так и три измерения. Тем не менее, его производительность становится хуже, поскольку измерение становится все больше.

* * *
Спиновые модели
Статистическая механика
Решеткие модели

Подробнее: https://en.wikipedia.org/wiki/High-dime ... sing_model