Система максимальных суперинтегрируемых элементов ⇐ Васина Википедия

[wiki_de]

В математике суперинтегрируемая гамильтонова система — это гамильтонова система на 2n-мерном симплектическом многообразии, для которой выполняются следующие условия:

(i) Существует k>n независимых сохраняющихся величин F_i. Их листы уровня (инвариантные подмногообразия) образуют расслоенное многообразие F:Z\to N=F(Z) над связным открытым подмножеством N\subset\mathbb R^k. < бр />
(ii) Существуют гладкие действительные функции s_{ij} на N, так что скобка Пуассона сохраняющихся величин определяется выражением \{F_i,F_j\ }= s_{ij}\circ F.

(iii) Матричная функция s_{ij} имеет постоянный дефект на N (математика)|ранг ядра m=2n-k.< бр / >
Если k=n, это полностью интегрируемая гамильтонова система. Теорема Мищенко-Фоменко для суперинтегрируемых гамильтоновых систем обобщает теорему Лиувилля-Арнольда о координатах угла действия для вполне интегрируемых гамильтоновых систем следующим образом:

Пусть инвариантные подмногообразия суперинтегрируемой гамильтоновой системы связны, компактны и попарно диффеоморфны. Тогда расслоенное многообразие F является расслоением тора|торов T^m. Существует открытая окрестность U точки F, которая представляет собой тривиальное расслоение, снабженное координатами расслоения (координатами обобщенного угла действия) (I_A,p_i,q ^i, \phi^A), где A=1,\ldots, m, i=1,\ldots,n-m. Где (\phi^A) — координаты T^m. Эти координаты являются координатами Дарбу на симплектическом многообразии U. Гамильтониан суперинтегрируемой системы зависит только от переменных действия I_A, которые являются функциями Казимира коиндуцированной структуры Пуассона на F(U).

Теорема Лиувилля-Арнольда для вполне интегрируемых систем и теорема Мищенко-Фоменко для суперинтегрируемых систем обобщены на случай некомпактных инвариантных подмногообразий. Они диффеоморфны тороидальному цилиндру T^{m-r}\times\mathbb R^r.

* Мищенко А., Фоменко А., Обобщенный метод Лиувилля интегрирования гамильтоновых систем, Функц. Анальный. Прил. '''12''' (1978) 113. * Болсинов А., Йованович Б. Некоммутативная интегрируемость, отображение моментов и геодезические потоки, Ann. Глобальный анал. Геом. '''23''' (2003) 305; * Фассо Ф., Суперинтегрируемые гамильтоновы системы: геометрия и возмущения, Acta Appl. Матем. '''87'''(2005) 93. * Фиорани, Э., Геннадий Сарданашвили | Сарданашвили, Г., Глобальные координаты действие-угол для полностью интегрируемых систем с некомпактными инвариантными многообразиями, J. Math. '''48''' (2007) 032901; * Миллер В.-младший, Пост С., Винтерниц П., Классическая и квантовая суперинтегрируемость с приложениями, J. Phys. А '''46''' (2013), вып. 42, 423001, * Джачетта, Г., Манджаротти, Л., Геннадий Сарданашвили | Сарданашвили, Г., «Геометрические методы в классической и квантовой механике» (World Scientific, Сингапур, 2010 г.)
Категория:Математика

Подробнее: https://de.wikipedia.org/wiki/Maximal_s ... les_System