Функтор Макки ⇐ Васина Википедия

[wiki_en]

В математике, особенно в теории представлений и алгебраической топологии, «функтор Макки» — это тип функтора, который обобщает различные конструкции теории групп и эквивариантной стабильной теории гомотопий | эквивариантной теории гомотопий. Эти функторы, названные в честь американца | американского математика Джорджа Макки, были впервые представлены немцами | немецким математиком Андреасом Дрессом в 1971 году.Dress, AWM (1971). «Заметки по теории представлений конечных групп. Часть I: Бернсайдовское кольцо конечной группы и некоторые AGN-приложения». Билефельд.
==Определение==
===Классическое определение===
Пусть G — конечная группа. Функтор Макки M для G состоит из:
* Для каждой подгруппы H \leq G существует абелева группа M(H)
* Для каждой пары подгрупп H, K \leq G с H \subseteq K:
** Ограничение (математика)|гомоморфизм ограничения R^K_H: M(K) \to M(H)
** Трансфер (теория групп)|трансферный гомоморфизм I^K_H: M(H) \to M(K)
Эти карты должны удовлетворять следующим аксиомам:
:'''Функториальность''': для вложенных подгрупп H \subseteq K \subseteq L, R^L_H = R^K_H \circ R^L_K и I^L_H = I^L_K \circ I^K_H.
:'''Сопряжение''': Для любых g \in G и H \leq G существуют изоморфизмы c_g: M(H) \to M (gHg^{-1}) совместим с ограничением и переносом.
:'''Формула двойного смежного класса''': Для подгрупп H, K \leq G выполняется следующее тождество:
::R^G_H I^G_K = \sum_{x \in [H\обратная косая черта G/K]} I^H_{H \cap xKx^{-1 \circ c_x \circ R^K_{x^ {-1}Hx \cap K.
===Современное определение===
В современной теории категорий функтор Макки можно определить более элегантно, используя язык span (теория категорий)|spans. Пусть \mathcal{C} — дизъюнктивная (\infty, 1)-категория, а \mathcal{A} — аддитивная (\infty, 1)-категории ((\infty, 1)-категории также известны как квазикатегории). Функтор Макки — это функтор, сохраняющий произведение M: \text{Span}(\mathcal{C}) \to \mathcal{A} где \text{Span}(\mathcal{ C}) — это (\infty, 1)-категория соответствий в \mathcal{C}.Барвик, К. (2017). «Спектральные функторы Макки и эквивариантная алгебраическая K-теория (I)». «Достижения математики», 304:646–727.

==Приложения==
===В эквивариантной теории гомотопий===
Функторы Макки играют важную роль в эквивариантной стабильной теории гомотопий. Для настоящего G-спектра E его эквивариантные гомотопические группы образуют функтор Макки, заданный формулой:
:\pi_n(E): G/H \mapsto [G/H_+ \wedge S^n, X]^G
где [-,-]^G обозначает морфизмы в эквивариантной стабильной гомотопической категории.May, J.P. (1996). «Эквивариантная гомотопия и теория когомологий». «Серия региональных конференций CBMS по математике», том. 91.

===Когомологии с коэффициентами функтора Макки===
Для заостренного комплекса G-CW X и функтора Макки A можно определить эквивариантные когомологии с коэффициентами из A как:
:H^n_G(X,A) := H^n(\text{Hom}(C_\bullet(X), A))
где C_\bullet(X) — цепной комплекс функторов Макки, заданных стабильными эквивариантными гомотопическими группами факторпространств.Кронхольм, В. (2010). «Спектральная последовательность Серра, градуированная RO (G)». «Гомология, гомотопия и приложения», 12(1):75-92.

==Дальнейшее чтение==
*Дик, Т. (1987). «Группы трансформации». де Грюйтер. *Уэбб, П. «Руководство по функторам Макки»
*Бук, С. (1997). «Зеленые функторы и G-множества». «Конспекты лекций по математике» 1671. Springer-Verlag.

Теория представлений
Алгебраическая топология
Функторы
Гомологическая алгебра

Подробнее: https://en.wikipedia.org/wiki/Mackey_functor