Топологический функтор ⇐ Васина Википедия

[wiki_en]

В теории категорий и общей топологии «топологический функтор» — это тот, который имеет свойства, аналогичные свойствам функтора забвения из категории топологических пространств. Область определения топологического функтора допускает построение, подобное исходной топологии (и, что эквивалентно, конечной топологии) семейства функций. Понятие топологических функторов обобщает (и усиливает) понятие расслоенных категорий|расслоенных категорий, для которых вместо семейства рассматривается один декартовский морфизм|морфизм.
== Определение ==
=== Источник и сток ===
'''источник''' (X,(Y_i)_{i\in I},(f_i\двоеточие X\to Y_i)_{i\in I}) в категории < math>\mathcal E состоит из следующих данных: * объект X\in\mathcal E,
* (возможно, правильный) класс объектов (Y_i)_{i\in I}\subseteq\mathcal E
* и класс морфизмов (f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I.

Двойственно, '''приемник''' (X,(Y_i)_{i\in I},(f_i\двоеточие Y_i\to X)_{i\in I}) в < math>\mathcal E состоит из
* объект X\in\mathcal E,
* класс объектов (Y_i)_{i\in I}\subseteq\mathcal E
* и класс морфизмов (f_i\colon Y_i\to X)_{i\in I.

В частности, источник (f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I является объектом X, если I пуст. , морфизм X\to Y, если I — набор одного элемента. Аналогично и с раковиной.

=== Первоначальный источник и конечный приемник ===
Пусть (f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I} — источник в категории \mathcal E и пусть \Pi\colon\ mathcal E\to\mathcal B — функтор. Источник (f_i)_{i\in I называется '''\Pi-начальным источником''', если он удовлетворяет следующему универсальному свойству. * Для каждого объекта X'\in\mathcal E существует морфизм \hat g\colon \Pi(X')\to\Pi(X) и семейство морфизмы (f'_i\colon X'\to Y_i)_{i\in I} такие, что \Pi(f_i)\circ\hat g=\Pi(f'_i) для каждого i\in I существует уникальный \mathcal E-морфизм g\colon X '\to X такой, что \hat g=\Pi(g) и \forall i\in I\colon f_i\circ g=f'_i.
*:
\begin{матрица
\mathcal E&\qquad\overset\Pi\to\qquad&\mathcal B\\
\hline
\begin{матрица
Х'\\
{\scriptstyle\exists!g}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\exists!g}&\searrow\!\!^{f'_i}\!\!\!\!\!\!\\
X&\underset{f_i}\to&Y_i
\end{matrix}&\qquad\overset\Pi\mapsto\qquad&\begin{matrix}
\Pi X'\\
{\scriptstyle\hat g}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\hat g}&\searrow\!\!^{\Pi f'_i}\!\!\!\!\!\!\\
\Pi X&\underset{\Pi f_i}\to&\Pi Y_i
\end{matrix}
\end{matrix}


Аналогичным образом определяется двойственное понятие '''\Pi-финального стока'''.

Когда I представляет собой набор из одного элемента, исходный источник называется «декартовым морфизмом».

=== Лифт ===
Пусть \mathcal E, \mathcal B — две категории. Пусть \Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B — функтор. Источником (\hat f_i\colon\hat X\to\hat Y_i)_{i\in I в \mathcal B является ''' \Pi-структурированный источник''', если для каждого i у нас есть \hat Y_i=\Pi(Y_i) для некоторого Y_i\in\mathcal E.
'''Лифт (математика)|лифт''' \Pi-структурированного источника (\hat f_i\colon\hat X\to \Pi(Y_i))_{i \in I} — это источник (f_i\colon\hat X\to Y_i)_{i\in I в \mathcal E такой, что \Pi(X)=\hat X и \Pi(f_i)=\hat f_i для каждого i\in I< /математика>
:
\begin{матрица
\mathcal E&\qquad\overset\Pi\to\qquad&\mathcal B\\
\hline
\begin{матрица
\существует X\\
{\scriptstyle\exists f_i}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\exists f_i}\\
Й_и
\end{matrix}&\qquad\overset\Pi\mapsto\qquad&\begin{matrix}
\шляпа X\\
{\scriptstyle\hat f_i}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\hat f_i}\\
\Пи Y_i
\end{matrix}
\end{matrix}

Аналогично определяется «лифт» приемника со структурой \Pi. Поскольку начальные и конечные лифты определяются через универсальное свойство | универсальные свойства, они уникальны с точностью до уникального изоморфизма, если они существуют.

Если источник \Pi со структурой (\hat X\to\Pi(Y_i))_{i\in I имеет начальный подъем (X\ относительно Y_i)_{i\in I, мы говорим, что X является '''начальной \mathcal E-структурой''' на \hat X относительно (\hat X\to\Pi(Y_i))_{i\in I. Аналогично для '''конечной \mathcal E-структуры''' по отношению к \Pi-приемнику.

=== Топологический функтор ===
Пусть \Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B — функтор. Тогда следующие два условия эквивалентны. * Каждый источник со структурой \Pi имеет начальный подъем. То есть исходная структура существует всегда.
* Каждый приемник со структурой \Pi имеет финальный подъем. То есть конечная структура существует всегда.

Функтор, удовлетворяющий этому условию, называется «топологическим функтором».

Топологические функторы можно определить и по-другому, используя теорию обогащенных категорий.
Конкретная категория (\mathcal E,F) называется '''топологической (конкретной) категорией''', если функтор забывания F\colon\mathcal E\to\operatorname{Set является топологическим. Топологическая категория может также означать расширенную категорию, основанную на категории топологических пространств|category \operatorname{Top} топологических пространств.

== Свойства ==
Каждый топологический функтор является точным функтором|верным.
Пусть \mathsf P — одно из следующих четырех свойств категорий:
* полная категория
* дополнительная категория
* мощная категория
* категория «совместная работа»
Если \Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B является топологическим и \mathcal B имеет свойство \mathsf P, то \mathcal E также имеет свойство \mathsf P.

Пусть \mathcal E — категория. Тогда топологические функторы \mathcal E\to\operatorname{Set} уникальны с точностью до естественного изоморфизма.


Теория категорий
Общая топология

Подробнее: https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_functor