Быстрорастущая иерархия ⇐ Васина Википедия

[wiki_de]

«Быстрорастущая иерархия» — это последовательность функций, используемая в математической логике и особенно в теории вычислимости для классификации скорости роста функций. Каждая функция в этой иерархии растет значительно быстрее, чем предыдущие функции. Иерархия дает представление о том, насколько быстро могут увеличиваться определенные функции, и часто используется в контексте изучения больших чисел и сложности алгоритмов.

= Определение =

Чтобы определить быстрорастущую иерархию, начните с простой функции, например функции-преемника \(f_0(n) = n + 1\). Далее шаг за шагом создаются более сложные функции. Типичным следствием построения быстрорастущей иерархии является использование так называемого «диагонального» метода или функций прибыли Веблена.

Иерархические функции обычно определяются следующим образом:

1. **Базовая функция:** \(f_0(n) = n + 1\)
2. **Базис рекурсии:** \(f_{\alpha+1}(n) = f_\alpha^n(n)\) где \(f_\alpha^n\) означает, что \(f_\alpha\ ) применяется n раз. Например, \(f_\alpha^3(n) = f_\alpha(f_\alpha(f_\alpha(n)))\).
3. **Для предельных порядковых номеров \(\lambda\),** где не существует непосредственного номера-предшественника (т.е. не похоже на \(\alpha + 1\)), требуется несколько более сложное определение, которое часто включает предварительное определение. определенная последовательность существующих функций до \(\lambda\) используется для определения \(f_\lambda\).

= Рост функций =

Рост функций в быстрорастущей иерархии происходит чрезвычайно быстро. Например, рост \(f_{\omega}(n)\) (где \(\omega\) — первый бесконечный ординал) уже превышает все примитивно-рекурсивные функции, включая очень быстрорастущие функции, такие как функция Аккермана. Функции высшего порядка в иерархии растут настолько быстро, что их значения можно считать бесконечными для всех практических приложений за пределами области чистой математики и теоретической информатики.

= Использование =

Быстрорастущая иерархия важна в математической логике и теории вычислимости, поскольку она помогает сравнивать «силы» различных бесконечных ординалов, а также дает представление о структуре и пределах доказуемости и вычислимости. Он также используется для демонстрации пределов роста функций, встречающихся в различных областях математики, и для классификации сложности алгоритмов или проблем теоретической информатики.

Категория:Математическая логика

Подробнее: https://de.wikipedia.org/wiki/Fast_Growing_Hierarchy