Bogomolny-Gleichungen ⇐ Васина Википедия

[wiki_de]

'''Уравнение Богомольного''' — это уравнение математической калибровочной теории, описывающее магнитные монополи. Это сформулировано в трех измерениях и следует за счет сокращения размерностей из самодуальных уравнений Янга-Миллса | самодуальных уравнений Янга-Миллса (уравнения SDYM) в четырех измерениях. Уравнения названы в честь Евгения Богомольного. Уравнения Богомольного и, в частности, их модульное пространство монополей|модулярное пространство исследовались, среди прочих, Майклом Фрэнсисом Атьей|Майклом Атьей и Найджелом Хитчиным. На замкнутых многообразиях возникают только тривиальные решения.

== Формулировка ==
Пусть G — группа Ли с алгеброй Ли \mathfrak{g и E\twoheadrightarrow B — G -Основное расслоение с трехмерным римановым многообразием|Риманово многообразие B. Для гладкого разреза \Phi\in\Omega_{\operatorname{Ad^0(E,\mathfrak{g})
\cong\Omega^0(B,\operatorname{Ad}(E))
\cong\Gamma^\infty(B,\operatorname{Ad}(E)) (которое представляет поле Хиггса в уравнениях Янга-Миллса-Хиггса) и соединение (главный пучок)|connection A\in\Omega_{\operatorname{Ad^1(E,\mathfrak{g})
\cong\Omega^1(B,\operatorname{Ad}(E)) с формой кривизны F_A:=\mathrm{d}_AA
:=\mathrm{d}A+[A\wedge A]
\in\Omega_{\operatorname{Ad^2(E,\mathfrak{g})
\cong\Omega^2(B,\operatorname{Ad}(E)) — уравнение Богомольного, определяемое формулой:

: F_A=\star\mathrm{d}_A\Phi.

== Связь с уравнениями Янга-Миллса ==
Решение уравнения Богомольного не обязательно является решением уравнения Янга-Миллса, хотя и с тождеством Бьянки \mathrm{d}_A\mathrm{d}_A\Phi
+[\Phi,F_A]
=0
: \mathrm{d}_A\star F_A
=\mathrm{d}_A\star^2\mathrm{d}_A\Phi
=\pm\mathrm{d}_A^2\Phi
=\mp[\Phi,F_A].

Это позволяет свести уравнения в частных производных от второй степени к первой степени и упростить их решение. Однако из-за дополнительного предположения о решении уравнения Богомольного не все решения получаются.

== Связь с уравнениями Янга-Миллса-Хиггса ==
Решение уравнения Богомольного является решением второго уравнения Янга-Миллса-Хиггса, поскольку тогда оно напрямую связано с тождеством Бьянки \mathrm{d}_AF_A
=0 отстает:

: \mathrm{d}_A\star\mathrm{d}_A\Phi
=\mathrm{d}_AF_A
=0.

== Литература ==

* *

* nlab:Bogomolny+equation|Уравнение Богомольного на 𝑛Lab|''n''Lab (английский язык|английский)



Категория:Дифференциальная геометрия
Категория:Магнетизм

Подробнее: https://de.wikipedia.org/wiki/Bogomolny-Gleichungen