Центральный группоид ⇐ Васина Википедия

[wiki_en]

В абстрактной алгебре «центральный группоид» — это алгебраическая структура, определяемая бинарной операцией \cdot над набором элементов, которая удовлетворяет уравнению
(a\cdot b)\cdot (b\cdot c)=b
для всех элементов a, b и y. Например, операция \cdot над точками евклидовой плоскости, определяемая путем рекомбинации их декартовых координат как
(x_1,y_1)\cdot (x_2,y_2)=(y_1,x_2) — центральный группоид. Тот же тип рекомбинации определяет центральный группоид над упорядоченными парами элементов из любого множества. Как алгебраическая структура с одной бинарной операцией, центральный группоид представляет собой особый вид магмы (алгебры) | магмы или группоида.
Центральные группоиды могут быть определены эквивалентно в терминах «центральных орграфов». Это ориентированные графы, в которых каждая упорядоченная пара вершин (не обязательно различных) образует начальную и конечную вершину трехвершинного ориентированного обхода. То есть для каждого u и v должна существовать уникальная вершина w такая, что u\to w и w\to v — направленные ребра. Из любого центрального орграфа можно определить центральный группоид, в котором u\cdot v=w для каждого направленного пути u\to w\to v. И наоборот, каждый центральный группоид может быть определен таким образом из центрального орграфа, имеющего элементы группоида в качестве вершин, в котором существует ребро u\to w всякий раз, когда существует v< /math> с u\cdot v=w.
Третье эквивалентное определение центральных группоидов включает логические матрицы|(0,1)-матрицы M со свойством, что M^2 является матрицей единиц. Это именно направленные матрицы смежности графов, определяющих центральные группоиды.
Каждый конечный центральный группоид имеет квадратное число элементов. Если количество элементов равно k^2, то существует ровно k идемпотентных элементов (элементы i со свойством, которое i\ cdot i=i).





Алгебры
Ориентированные графы
Матрицы

Подробнее: https://en.wikipedia.org/wiki/Central_groupoid